o-mathe | Übungen - Mittlere Änderungsrate

Lösungen zu Übungen - Mittlere Änderungsrate

Aufgabe 1: Bevölkerungsentwicklung

(a) Wie groß war die Population in etwa im Jahr 1960? Wann erreicht die Population voraussichtlich die Grenze von 10 Milliarden Menschen?

$f(-40) \approx 3.3$
$f(60) \approx 10$

Auf der Erde lebten 1960 ca. 3.3 Milliarden Menschen. Im Jahr 2060 werden es voraussichtlich 10 Milliarden sein.

(b) Bestimme die mittlere Änderungsrate zur Populationsentwicklung im Zeitintervall von $-20 \leq t \leq 20$. Bestimme auch die mittlere Änderungsrate zur Populationsentwicklung im Zeitintervall von $20 \leq t \leq 40$. Was fällt auf?

$m(-20,20) = \dfrac{f(20)-f(-20)}{20-(-20)} \approx \dfrac{7.8-4.5}{40} = 0.0825$ [in Mrd/Jahr]
$m(20,40) = \dfrac{f(40)-f(20)}{40-20} \approx \dfrac{9-7.8}{20} = 0.06$ [in Mrd/Jahr]

In der Zeit zwischen 1980 und 2020 ist die Weltbevölkerung durchschnittlich um ca. 82.5 Millionen Menschen pro Jahr gewachsen. In der Zeit zwischen 2020 und 2040 wird die Weltbevölkerung durchschnittlich um ca. 60 Millionen Menschen pro Jahr anwachsen. Die Änderung pro Jahr geht also zurück.

(c) Die mittlere Änderungsrate zur Populationsentwicklung in den Jahren zwischen 2000 und 2100 beträgt etwa 0.043 Milliarden pro Jahr. Warum ist die folgende Aussage nicht korrekt: Die Population wächst in den Jahren zwischen 2000 und 2100 jedes Jahr um etwa 0.043 Milliarden Menschen. Wie könnte man es korrekt formulieren?

$m(-20,20) = \dfrac{f(20)-f(-20)}{20-(-20)} \approx \dfrac{7.8-4.5}{40} = 0.0825$ [in Mrd/Jahr]
$m(20,40) = \dfrac{f(40)-f(20)}{40-20} \approx \dfrac{9-7.8}{20} = 0.06$ [in Mrd/Jahr]

Aufgabe 2: Radtour

(a) Kläre folgende Fragen:

Wie lang hat die Radtour gedauert (in h)?
2h
Welche Strecke wurde dabei zurückgelegt (in km)?
36 km
Wie erhält man hieraus die mittlere Geschwindigkeit (bzw. Durchschnittsgeschwindigkeit) der Radtour (in km/h)?
mittlere Geschwindigkeit = zurückgelgte Wegstrecke / benötigte Zeit
$m(0,2) = \dfrac{36}{2} = 18$ [in km/h]
Die Radtour führte über einen Berg. Wie kann man das am Graphen erkennen?
Die Radtour führt über einen Berg, wenn im Graph über ein längeres Zeitintervall nur eine geringe Wegstrecke erzielt wird.
Je steiler der Graph in einem Abschnitt, desto [größer] war die Geschwindigkeit in diesem Zeitraum.
Wie würde der Graph aussehen, wenn man nach einer halben Stunde eine Reifenpanne hat und erst einmal für 15 Minuten nicht weiterfährt?
Der Graph würde in dem betreffenden Zeitintervall parallel zur $x$-Achse verlaufen.

(b) Mit den beiden Datenpunkten $P$ und $Q$ kannst du jetzt die Geschwindigkeiten bei der Tour genauer untersuchen. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit im voreingestellten Zeitintervall.

$m(0.5,1) = \dfrac{17.84-8.75}{1-0.5} \approx 18.18$ [in km/h]

(c) Schätze die mittlere Geschwindigkeit ab, mit der der Berg beim Aufstieg bezwungen wurde und mit der die rasende Abfahrt stattfand.

Betrachte das Zeitintervall von 1h bis 1.4h: $m(1,1.4) = \dfrac{19.73-17.78}{1.4-1} \approx 4.9$ [in km/h]

Aufgabe 3: Geschwindigkeiten bei einer Autofahrt

(a) Woran erkennt man direkt, dass das Auto immer schneller wird – also sich beschleunigt bewegt?

Der Graph der Zeit-Weg-Funktion wird immer steiler.

(b) Bestimme die mittlere Geschwindigkeit des Autos in den im Zeitintervall $0 \leq t \leq 2$, $2 \leq t \leq 4$, $4 \leq t \leq 6$, $6 \leq t \leq 8$ und $8 \leq t \leq 10$. Benutze die Funktionsgleichung $s(t) = 4t^2$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

$m(0,2) = \dfrac{s(2)-s(0)}{2-0} = \dfrac{16-0}{2-0} = 8$ [in m/s]
$m(2,4) = \dfrac{s(4)-s(2)}{4-2} = \dfrac{64-16}{4-2} = 24$ [in m/s]
$m(4,6) = \dfrac{s(6)-s(4)}{6-4} = \dfrac{144-64}{6-4} = 40$ [in m/s]
$m(6,8) = \dfrac{s(8)-s(6)}{8-6} = \dfrac{256-144}{8-6} = 56$ [in m/s]
$m(8,10) = \dfrac{s(10)-s(8)}{10-8} = \dfrac{400-256}{10-8} = 72$ [in m/s]

(c) Rechne die in (b) ermittelten Geschwindigkeiten auch von $m/s$ in $km/h$ um. Es gilt $3.6 km/h = 1 m/s$. Sind die Ergebnisse realistisch?

mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $0 \leq t \leq 2$: $28.8$ km/h
mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $2 \leq t \leq 4$: $86.4$ km/h
mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $4 \leq t \leq 6$: $144$ km/h
mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $6 \leq t \leq 8$: $201.6$ km/h
mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $8 \leq t \leq 10$: $259.2$ km/h

Aufgabe 4: Beschleunigung bei einer Autofahrt

(a) Woran erkennt man direkt, dass das Auto zwar immer schneller wird, aber nicht gleichmäßig beschleunigt? Wie schnell ist es nach 10s in km/h? Wann erreicht das Auto die Geschwindigkeit von 250 km/h? Benutze die Umrechnung $3.6 km/h = 1 m/s$.

Im Graph erkennt man, dass die Geschwindigkeit immer größer wird. Das Auto wird also immer schneller. Der Gewschwindigkeitszuwachs pro Sekunde nimmt aber ab. Die Beschleunigung wird somit im Laufe der Zeit kleiner.

Nach 10 s beträgt die Geschwindigkeit ca. 53 m/s. Das sind dann ca. 190 km/h.

Es gilt: 250 km/h entspricht ca. 69.4 m/s. Diese Geschwindigkeit wird nach ca. 17.9 s erreicht.

(b) Bestimme die mittlere Änderungsrate zur Geschwindigkeitsentwicklung des Autos in den im Zeitintervall $0 \leq t \leq 2$, $2 \leq t \leq 4$, $4 \leq t \leq 6$, $6 \leq t \leq 8$ und $8 \leq t \leq 10$. Lies die benötigten Werte im Graph ab. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

$m(0,2) = \dfrac{v(2)-v(0)}{2-0} \approx \dfrac{15-0}{2-0} = 7.5$ [in m/s]
$m(2,4) = \dfrac{v(4)-v(2)}{4-2} \approx \dfrac{27-15}{4-2} = 6$ [in m/s]
$m(4,6) = \dfrac{v(6)-v(4)}{6-4} \approx \dfrac{37-27}{6-4} = 5$ [in m/s]
$m(6,8) = \dfrac{v(8)-v(6)}{8-6} \approx \dfrac{46-37}{8-6} = 4.5$ [in m/s]
$m(8,10) = \dfrac{v(10)-v(8)}{10-8} \approx \dfrac{52-46}{10-8} = 3$ [in m/s]

(c) Erläutere folgenden Zusammenhang: Die mittlere Änderungsrate bei einer Zeit-Geschwindigkeit-Funktion beschreibt die mittlere Beschleunigung im betreffenden Zeitintervall.

Die mittlere Änderungsrate bei einer Zeit-Geschwindigkeit-Funktion beschreibt die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Das ist die mittlere Beschleunigung im betrachteten Zeitintervall.

Aufgabe 5: Diagrammanalyse

Das Diagramm verdeutlicht die Erderwärmung in den letzten Jahrzehnten.

(a) Bestimme die mittlere Änderungsrate zur Temperaturentwicklung im Zeitintervall $1959 \leq t \leq 2019$. Deute das Ergebnis.

Temperatur 1959: 14.1°C

Temperatur 2019: 14.9°C

mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall $1959 \leq t \leq 2019$ in °C pro Jahr: $m(1959, 2019) = \dfrac{14.9 - 14.1}{2019 - 1959} = \dfrac{0.8}{60} \approx 0.013$

Deutung: Die Temperatur ist im betrachteten Zeitraum durchschnittlich um mehr als 0.01°C pro Jahr gestiegen.

(b) Die Temperaturentwicklung unterliegt vielen Schwankungen. Verdeutliche dies, indem du die mittlere Änderungsrate für passende Zeitintervalle bestimmst. Interessant sind Phasen mit einem deutlichen Anstieg und Phasen, in denen die Temperatur wieder zurückgegangen ist.

mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall $1973 \leq t \leq 1976$ in °C pro Jahr: $m(1973, 1976) = \dfrac{13.9 - 14.2}{1976 - 1973} \approx -0.1$

mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall $1959 \leq t \leq 1969$ in °C pro Jahr: $m(1959, 1969) = \dfrac{14.1 - 14.1}{1969 - 1959} = 0$

mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall $2011 \leq t \leq 2016$ in °C pro Jahr: $m(2011, 2016) = \dfrac{15.0 - 14.6}{2016 - 2011} \approx 0.08$

Aufgabe 6: Diagrammanalyse

Das Diagramm zeigt Messungen von einer Ballon-Fahrt vom 27. September 2013 ab 12:40 in Stölln/Rhinow.

(a) Betrachte die Zuordnung „Zeit [min] -> Temperatur [°C]“. Bestimme die mittlere Änderungsrate für diese Zuordnung im Zeitintervall $0 \leq t \leq 52$. Warum muss ein negativer Wert herauskommen? Begründe kurz.

Temperatur zum Zeitpunkt 0 min: 16°C

Temperatur zum Zeitpunkt 52 min: -38°C

mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall $0 \leq t \leq 52$ in °C pro min: $m(0, 52) = \dfrac{-38 - 16}{52 - 0} = \approx -1.04$

Die mittlere Änderungsrate muss negativ sein, da ein Temperaturrückgang vorliegt.

(b) Aus dem Diagramm kann man auch die Zuordnung „Höhe [m] -> Temperatur [°C]“ rekonstruieren. Bestimme die mittlere Änderungsrate für diese Zuordnung im Höhenintervall $0 \leq h \leq 10000$.

Temperatur in der Höhe 0 km: 16°C

Temperatur in der Höhe 10 km: -30°C

mittlere Änderungsrate der Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe im Höhenintervall $0 \leq t \leq 10$ in °C pro km: $m(0, 10) = \dfrac{-30 - 16}{10 - 0} = \approx -4.6$

(c) Erläutere mit den beiden Aufgabenteilen: Eine Änderungsrate bezieht sich nicht immer auf eine zeitliche Entwicklung. Eine Änderungsrate bzw. Änderungsgeschwindigkeit kann auch auf eine anderen Größe bezogen werden.

Im Aufgabenteil (a) wurde die Zuordnung „Zeit [min] -> Temperatur [°C]“ betrachtet. Die mittlere Änderungsrate ergibt dann eine mittlere Temperaturänderung pro Zeiteinheit.

Im Aufgabenteil (b) wurde die Zuordnung „Höhe [m] -> Temperatur [°C]“ betrachtet. Die mittlere Änderungsrate ergibt dann eine mittlere Temperaturänderung pro Höheneinheit.

Aufgabe 7: Änderungsraten bei beliebigen Funktionen

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im jeweils angegebenen Intervall. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.

geg.: $f(x) = x^2$
$m(2,5) = \dfrac{f(5)-f(2)}{5-2} = \dfrac{25-4}{5-2} = 7$
$m(-2,2) = \dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \dfrac{4-4}{2-(-2)} = 0$
geg.: $f(x) = 2x$
$m(1,4) = \dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{8-2}{4-1} = 2$
$m(4,7) = \dfrac{f(7)-f(4)}{7-4} = \dfrac{14-8}{7-4} = 2$
geg.: $f(x) = \dfrac{1}{x}$
$m(1,4) = \dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{\frac{1}{4}-1}{4-1} = -\frac{1}{4}$
$m(1,2) = \dfrac{f(2)-f(1)}{2-1} = \dfrac{\frac{1}{2}-1}{2-1} = -\frac{1}{2}$
geg.: $f(x) = 3$
$m(1,7) = \dfrac{f(7)-f(1)}{7-1} = \dfrac{3-3}{7-1} = 0$
$m(3,5) = \dfrac{f(5)-f(3)}{5-3} = \dfrac{3-3}{5-3} = 0$
geg.: $f(x) = x^2$
Für $x_1 \neq 0$ gilt: $m(0,x_1) = \dfrac{f(x_1)-f(0)}{x_1-0} = \dfrac{x_1^2-0}{x_1-0} = x_1$
Also: Wenn $x_1 = 4$, dann gilt $m(0, x_1) = 4$

Aufgabe 8: Formeln für Änderungsraten bei beliebigen Funktionen

Leite die folgenden Formeln für mittlere Änderungsraten her.

(a) Für eine konstante Funktion $f$ mit $f(x) = a$ gilt: $m(x_0,x_1) = 0$.

$m(x_0,x_1) = \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \dfrac{a-a}{x_1-x_0} = \dfrac{0}{x_1-x_0} = 0$

(b) Für eine lineare Funktion $f$ mit $f(x) = ax + b$ gilt: $m(x_0,x_1) = a$.

$m(x_0,x_1) = \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \dfrac{(ax_1+b)-(ax_0+b)}{x_1-x_0} = \dfrac{a(x_1-x_0)}{x_1-x_0} = 0$

(c) Für eine quadratische Funktion $f$ mit $f(x) = ax^2$ gilt: $m(x_0,x_1) = a(x_0+x_1)$.

$m(x_0,x_1) = \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \dfrac{ax_1^2-ax_0^2}{x_1-x_0} = \dfrac{a(x_1+x_0)(x_1-x_0)}{x_1-x_0} = a(x_1+x_0) = a(x_0+x_1)$

Quellen

[1]: Erderwärmung - Urheber: SophieKnb - Lizenz: Creative Commons BY-SA 4.0
[2]: Ballonfahrt - Urheber: Lenz - Lizenz: Creative Commons BY-SA 3.0