Didaktischer Kommentar zu Ableitung als lokale Änderungsrate

Hinweise zur Verwendung des Kapitels

• Die beiden Abschnitte Erkundung - Download und Erkundung - Tempolimit bieten alternative Kontexte für erste Erkundungen zur momentanen Änderungsrate an. Hier reicht es, einen dieser beiden Abschnitte zu bearbeiten.
• Die Erkundung - Download führt die Untersuchungen zu Downloadraten aus dem Kapitel Mittlere Änderungsraten fort. In der Erkundung - Tempolimit wird das aus dem Alltag bekannte Konzept der Momentangeschwindigkeit thematisiert.
• Für beide Erkundungen werden Applets bereitgestellt, die die thematisierten Vorgänge simulieren. Hierdurch sind Momentangeschwindigkeiten (die momentane Downloadgeschwindigkeit bzw. die Momentangeschwindigkeit eines Autos) erlebbar und können so mit ihren Mathematisierungen direkt verknüpft werden.
• Im Strukturierungsabschnitt werden die zuvor im Kontext durchgeführten Überlegungen mit dem Ableitungskonzept verallgemeinernd beschrieben. Die Ableitung wird als lokale Änderungsrate eingeführt. Die inhaltliche Vorstellung basiert also zunächst auf der momentanen Änderungsgeschwindigkeit bei einer Bestandsentwicklung.
• Bei der Begriffsdefinition wird u.a. die Limes-Schreibweise benutzt. Diese Schreibweise wird inhaltlich gedeutet, ein vertiefendes Verständnis zur formalen Fassung des Grenzwertkonzepts wird nicht vorausgesetzt.
• Wichtig für das Verständnis des Ableitungskonzepts sind die geometrischen Deutungen der Ableitung an einer Stelle. Bei dem gewählten Vorgehen steht folgende geometrische Deutung der Ableitung im Vordergrund: Die Ableitung an einer Stelle wird geometrisch als Steigung des Funktionsgraphen im entsprechenden Punkt gedeutet. Sie lässt sich dann mit Hilfe einer Tangente an den Funktionsgraphen durch diesen Punkt (oft auch nur mit einem kurzen Tangentenschnipsel) gut sichbar visualisieren. Beachte, dass bei diesen geometrischen Deutungen sowohl der Steigungsbegriff als auch der Tangentenbegriff aus der Sekundarstufe I verallgemeinert werden müssen.
• Die geometrischen Deutungen der Ableitung werden mit passenden GeoGebra-Applets motiviert. Die Applets erlauben es zum einen, sich Funktionsgraphen – wie mit einem Mikroskop – lokal genau anzuschauen, um dann zu beobachten, dass gekrümmte Funktionsgraphen (in der Regel) lokal fast gerade sind. Zum anderen ermöglichen die Applets es, Annäherungsprozesse dynamisch zu gestalten. Die Applets tragen somit entscheidend zur Erschließung der geometrischen Deutungen der Ableitung bei.
• Die algebraisch-analytische Berechnung von Ableitungswerten wird an ausgewählten Beispielen aufgezeigt. Diese Berechnungen kann man im Grundfach übergehen oder sich exemplarisch anschauen. Eine extensive Beschäftigung mit solchen Berechnungen ist nicht vorgesehen.
• Zur Sicherung von Ergebnissen werden – wie an anderer Stelle auch – passgenaue Arbeitsblätter und Wissensspeicher bereitgestellt.