Erarbeitung - Begriffsbildung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier beliebige Funktionen und gehen analog zur Bestimmung einer lokalen Downloadrate bzw. einer Momentangeschwindigkeit vor: Wir wählen immer kleinere Schrittweiten $h$ an der betrachteten Stelle und bestimmen für die betreffenden Intervalle die mittlere Änderungsrate.
Lokale Änderungsraten bestimmen
Beispiel: Quadratfunktion
Für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und die Stelle $x_0 = 1$ führen wir den folgenden Grenzprozess durch.
$\begin{array}{lll} m(x_0, x_0+h) & \text{mittlere Änderungsrate}\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad \;\;\; ? & \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$
Aufgabe 1
(a) In der Übersicht unten sind bereits Werte eingetragen. Erkläre, wie man zu diesen Werten gelangt.
(b) Berechne die fehlenden Werte in der Übersicht. Kontrolliere sie im Applet.
| $h$ Schrittweite |
$f(x_0+h)-f(x_0)$ Änderung |
$m(x_0,x_0+h) = \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ mittlere Änderungsrate |
| $1$ | $3$ | $3$ |
| $0.1$ | ||
| $0.01$ | ||
| $\dots$ | ||
| $-0.01$ | ||
| $-0.1$ | $-1$ | $-1$ | $1$ |
(c) Stelle eine Vermutung auf, bei welchem Wert sich die mittleren Änderungsraten stabilisieren.
(d) Sichere die Ergebnisse auf dem Wissensspeicher.
Begriffe und Bezeichnungen einführen
Das oben gezeigte Verfahren ist grundlegend für die gesamte Differentialrechnung. Zur Beschreibung führen wir Begriffe und Bezeichnungen ein.
Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Die lokale Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$ für immer kleinere Schrittweiten $h$ bestimmt. Wir setzen dabei voraus, dass sich bei dem Grenzprozess die mittleren Änderungsraten stabilisieren.
Zur Darstellung der lokalen Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ benutzt man die Schreibweise $f'(x_0)$. Die Zahl $f'(x_0)$ nennt man auch Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Gelesen wird $f'(x_0)$ so: "$f$ Strich von $x_0$" oder "Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$".
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$
Für Grenzprozesse nutzt man in der Mathematik die Limes-Schreibweise:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$
Diese Schreibweise bedeutet:
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist der Grenzwert (Limes
), den man erhält,
wenn man für den Differenzenquotienten $\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.
Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist die Zahl, bei der sich die mittleren Änderungsraten $m(x_0, x_0+h)$ stabilisieren, wenn die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht. Diese Sichtweise setzt voraus, dass sich die mittleren Änderungsraten bei dem Grenzprozess $h \rightarrow 0$ tatsächlich stabilisieren. In einem solchen Fall sagt man, dass die betrachtete Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist.
Es gibt auch den Fall, dass die betrachtete Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ nicht differenzierbar ist – dass also die Ableitung $f'(x_0)$ nicht existiert. Solche Fälle werden im Kapitel Differenzierbarkeit genauer betrachtet.
Zielsetzung
Wenn die Funktion $f$ eine Bestandsentwicklung für eine vorgegebene Größe beschreibt, dann beschreibt die Ableitung $f'(x_0)$ die lokale Änderungsrate bzw. die lokale Änderungsgeschwindigkeit von $f$ an der Stelle $x_0$. Für die weitere Verwendung ist es günstig, wenn man zusätzlich über eine anschauliche Vorstellung über die Ableitung $f'(x_0)$ verfügt. Das Ziel der folgenden Untersuchungen ist es daher, eine Vorstellung darüber zu entwickeln, wie man die Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ geometrisch deuten kann.
