Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten die bereits bekannten Ableitungswerte bei der Quadratfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ unter einem neuen Blickwinkel.
Ableitungswerte mit einer Funktion darstellen
Mit dem folgenden Applet kann man Ableitungswerte zu einer vorgegebenen Funktion mit einer weiteren Funktion darstellen. Lies dir die Anleitung zum Applet durch und bearbeite anschließend die Aufgaben unter dem Applet.
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ bereits vorgegeben. Der Graph dieser Funktion wird im oberen Fenster dargestellt.
- Im Applet kann man mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse einen bestimmten $x$-Wert vorgeben, z.B. $x = 1$. Den roten Punkt kann man auf der $x$-Achse hin und her bewegen.
- Angezeigt wird im oberen Fenster die Ableitung an der gewählten Stelle $x$. Für $x = 1$ wird also die Ableitung $f'(1)$ angezeigt.
- Der angezeigte Ableitungswert beschreibt die Steigung des Funktionsgraphen im betrachteten Punkt $P$. Diese Steigung wird mit einer blauen Strecke verdeutlicht. Zusätzlich kann man die Tangente durch $P$ einblenden, die dieselbe Steigung hat.
Zum Herunterladen: ableitungsfunktion2.ggb
Aufgabe 1
(a) Bestimme mit Hilfe des Applets die Ableitungswerte für die $x$-Werte von $x = -1.5$ bis $x = 1.5$. Die Ableitungswerte für $x = -2$ und $x = 2$ kannst du dann anhand einer erkennbaren Regelmäßigkeit erschließen.
| $x$ | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
| $f'(x)$ |
(b) Blende im unteren Fester die [Spur] ein. Erkläre, was die Punkte im unteren Koordinatensystem darstellen. Bewege hierzu auch nochmal den roten Punkt auf der $x$-Achse (im oberen Fenster) hin und her.
(c) Beschreibe $f'(x)$ mit einer Funktionsgleichung: $f'(x) = \dots$. Wenn du die Funktionsgleichung korrekt eingegeben hast, dann verläuft sie durch die eingeblendeten Spurpunkte.
$f'(x)$ als Funktion betrachten
$f'(x)$ kann man als Funktion deuten, die jedem (zulässigen) $x$-Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet.
Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion $f'$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$-Wert aus der Definitionsmenge von $f$, an dem die Ableitung $f'(x)$ existiert, diesem Ableitungswert zu.
Beispiel
Für die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x) = 2x$.
$\begin{array}{cl} f(x) = x^2 & \text{Ausgangsfunktion}\\ \Downarrow & \text{Ableiten} \\ f'(x) = 2x & \text{Ableitungsfunktion} \end{array}$
Der Begriff Ableiten
wird benutzt, um den Vorgang zu beschreiben, zu einer Ausgangsfunktion die Ableitungsfunktion zu ermitteln.
Statt „Ableiten“ benutzt man synonym auch den Begriff „Differenzieren“.
Aufgabe 3
✏️️ Trage die Ergebnisse im Wissensspeicher ein.
