Vertiefung
ZUr Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde die Ableitungsfunktion zur Quadratfunktion betrachtet.
$\begin{array}{cl} f(x) = x^2 & \text{Ausgangsfunktion}\\ \Downarrow & \text{Ableiten} \\ f'(x) = 2x & \text{Ableitungsfunktion} \end{array}$
Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion wurden dabei einem Applet entnommen. Hier wird gezeigt, wie man die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion systematisch herleiten kann. Wir wiederholen das Verfahren, das im Kapitel Ableitung als lokale Änderungsrate entwickelt wurde.
Die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion herleiten
Das Applet verdeutlicht das Verfahren zur Bestimmung von Ableitungen am Beispiel der Quadratfunktion $f(x) = x^2$.
Zum Herunterladen: ableitung4.ggb
Beispiel
geg: Ausgangsfunktion $f(x) = x^2$
ges: zugehörige Ableitungsfunktion $f'(x) = \dots$
Schritt 1: den Ausdruck $m(x, x+h)$ vereinfachen
$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x^2+2xh+h^2) - x^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2xh+h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h\cdot(2x+h)}{h}} \\ & = & \displaystyle{2x+h} \end{array}$
Schritt 2: den Grenzprozezz $h \rightarrow 0$ durchführen
$\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & 2x+h \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \downarrow \\ f'(x) & = & 2x \end{array}$
Aufgabe 1
Erläutere das Verfahren, mit dem man die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion herleitet.
Aufgabe 2
✏️️ Trage die Ergebnisse im Wissensspeicher aus dem letzten Abschnitt ein.
