Übungen - Ableitungsfunktion
Aufgabe 1
Benutze das folgende Applet, um Ableitungsfunktionen zu vorgegebenen Ausgangsfunktionen zu bestimmen. Gehe dabei jeweils so vor:
- Erstelle mit Hilfe des Applets eine Wertetabelle zur Ableitungsfunktion $f'$. Bestimme hierzu $f'(x)$ für einige selbst gewählte $x$-Werte.
- Nutze die Gesetzmäßigkeit in der Wertetabelle, um eine Funktionsgleichung für $f'(x)$ zu entwickeln.
- Gibt die Funktionsgleichung von $f'$ zur Kontrolle im Applet im unteren Fenster ein.
(a) Geg.: $f(x) = x^2 + 1$
(b) Geg.: $f(x) = (x-1)^2$
(c) Geg.: $f(x) = 0.5x^2$
(d) Geg.: $f(x) = 0.5x$
(e) Geg.: $f(x) = 0.5$
Aufgabe 2
(a) Der Graph der Ausgangsfunktion $f$ wird im oberen Fenster des Applets vorgegeben. Welcher Graph im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$? Begründe deine Auswahl.
(b) Der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ wird im unteren Fenster des Applets vorgegeben. Welcher Graph im oberen Fenster ist der Graph einer passenden Ausgangsfunktion $f$? Begründe deine Auswahl.
Aufgabe 3
Das folgende Applet simuliert einen Fallschirmsprung
(a) Führe mit [Start] einen Fallschirmsprung durch. An welchem Zeitpunkt wird der Schirm geöffnet? Woran erkennt man diesen Zeitpunkt im Bewegungsablauf?
(b)
Aktiviere das Kontrollkästchen $s(t)$.
Erkläre, warum der Graph der Zeit-Weg-Funktion $s$ einen Knick
hat.
(c) Überlege dir, wie der Graph der Ableitungsfunktion $s'$ verlaufen müsste. Aktiviere zur Kontrolle das Kontrollkästchen $s'(t)$. Erkläre den Verlauf von Graph $s'$.
(d) Im unteren Koordinatensystem sind die Punkte $(4|40)$ und $(4|5)$ mit Kringel hervorgehoben. Was will man mit diesen Punkten ausdrücken?
(e) Der Fallschirmsprung wird im Applet mit der folgenden Zeit-Weg-Funktion beschrieben.
$s(t) = \begin{cases} 5 t^2 & \text{wenn } 0 \leq t \leq 4 \\ 5(t-4)+80 & \text{wenn } 4 \text{ < } t \leq 12 \end{cases}$
Beschreibe $s'(t)$ mit einer Funktionsgleichung. Beachte das Verhalten zum Zeitpunkt $t = 4$.
$s'(t) = \begin{cases} \dots & \text{wenn } \dots \\ \dots & \text{wenn } \dots \end{cases}$
