Zusammenfassung - Ableitungsfunktion
Die Grundidee
Die Grundidee lässt sich anhand des folgenden Applets klarmachen.
Zum Herunterladen: ableitungsfunktion3.ggb
Vorgegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$. Im Applet ist das die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
Für jede reelle Zahl $x$ kann man die Ableitung $f'(x)$ bestimmen. In der folgenden Tabelle sind einige dieser Ableitungswerte eingetragen.
| $x$ | $\dots$ | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | $\dots$ |
| $f'(x)$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
Die Tabelle lässt als Wertetabelle einer weiteren Funktion – der Ableitungsfunktion $f'$ – deuten. Diese Ableitungsfunktion ordnet jeder reellen Zahl $x$ die Ableitung $f'(x)$ zu. Der Graph dieser Ableitungsfunktion $f'$ ist im Applet im unteren Fenster zu sehen.
Im vorliegenden Beispiel kann man vermuten (und auch recherisch nachweisen), dass für die Funktionsgleichung von $f'$ gilt: $f'(x) = 2x$.
Präzisierung der Grundidee
Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion $f'$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$-Wert aus der Definitionsmenge von $f$, an dem die Ableitung $f'(x)$ existiert, diesem Ableitungswert zu.
Beispiel
Für die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x) = 2x$.
$\begin{array}{cl} f(x) = x^2 & \text{Ausgangsfunktion}\\ \Downarrow & \text{Ableiten} \\ f'(x) = 2x & \text{Ableitungsfunktion} \end{array}$
Der Begriff Ableiten
wird benutzt, um den Vorgang zu beschreiben, zu einer Ausgangsfunktion die Ableitungsfunktion zu ermitteln.
Statt „Ableiten“ benutzt man synonym auch den Begriff „Differenzieren“.
