Erarbeitung
Die Zielsetzung verallgemeinern
Zur Modellierung von Halfpipes nutzen wir Kombinationen von Potenzfunkion wie z.B. $f(x) = 0.25x^{16} + 0.25x^4 + 0.5x^2$, die die zusätzliche Bedingung $f(0) = 0$ und $f(1) = 1$ erfüllen. Um das Steigungsprofil einer so modellierten Halfpipe zu bestimmen, benötigt man die zugehörige Ableitungsfunktion. Die Zusatzbedingungen $f(0) = 0$ und $f(1) = 1$ spielen beim Ableiten keine Rolle. Für die weiteren Überlegungen verzichten wir daher auf solche Zusatzbedingungen und fokussieren uns auf Kombinationen von Potenzfunkionen. Solche Kombinationen von Potenzfunktionen nennt man ganzrationale Funktionen. Hier einige Beispiele:
- $f(x) = 2x^3 + 4x^2$
- $f(x) = x^4 + (-2)x^2 = x^4 - 2x^2$
- $f(x) = x^2 + 2x^1 + 4x^0 = x^2 + 2x + 4$
- $f(x) = -x^7 + 0.5x^5 -2x^4 + x - 3$
- ...
Ergänze selbst weitere Beispiele.
Folgende Zielsetzung bildet den Ausgangspunkt der weiteren Überlegungen:
Zielsetzung
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion wie z.B. $f(x) = 0.5x^4 + 0.5x^2$ oder $f(x) = -x^7 + 0.5x^5 -2x^4 + x - 3$.
Gesucht sind Regeln zur Bestimmung der Ableitungsfunktion einer vorgegebenen ganzrationalen Funktion.
Ableitungsfunktionen zu einer ganzrationalen Funktion bestimmen
Strategie
Wenn man Regelmäßigkeiten und Strukturen herausfinden möchte, dann ist es oft günstig, wenn man systematisch vorgeht und bestimmte Fälle untersucht. Diese Strategie wird in den folgenden Aufgaben verwendet.
Aufgabe 1
(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:
- $f(x) = x^4 + x^2$
- $f(x) = x^8 + x^7 + x^3$
- $f(x) = x^{16} + x^4 + x^2$
- $f(x) = x^2 + x^1 + x^0$
- ...
(b) Beschreibe, wie man bei solchen Summen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.
Aufgabe 2
(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:
- $f(x) = 3x^4$
- $f(x) = 2x^8$
- $f(x) = -0.5x^{4}$
- $f(x) = -x^2$
- $f(x) = 2x$
- $f(x) = -x$
- ...
(b) Beschreibe, wie man bei solchen Vielfachen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.
Aufgabe 3
(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:
- $f(x) = -x^4 + 2x^3$
- $f(x) = 5x^8 - 2x^6 - x^5 +3x^2$
- $f(x) = x^3 - 0.2x^2 - x$
- $f(x) = x^2 - 3x + 2$
- $f(x) = -x^4 + 1/3x^3 - 4$
- ...
(b) Beschreibe, wie man bei solchen Kombinationen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.
