Vertiefung
Zielsetzung
Zur Analyse eines 100m-Laufs wurden im letzten Abschnitt mehrere Ableitungsfunktionen verwendet. Wir fassen die Ergebnisse hier verallgemeinerd zusammen.
Ableitungsfunktionen ableiten
Die Analysen zum 100m-Lauf verdeutlichen, dass es in bestimmten Situationen Sinn macht, eine Ableitungsfunktion nochmal abzuleiten: Die Ableitung einer Zeit-Weg-Funktion liefert eine Zeit-Geschwindigkeit-Funktion. Wenn man diese wiederum ableitet, erhält man eine Zeit-Beschleunigung-Funktion. In der Tabelle sind diese Funktionen für eine konkrete 100m-Lauf-Situation eingetragen.
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| $s(t) = -0.00045 t^5+0.018 t^4-0.31 t^3+2.6 t^2$ | Ausgangsfunktion Zeit-Weg-Funktion |
| $s'(t) = -0.00225 t^4+0.072 t^3-0.93 t^2+5.2 t$ | 1. Ableitung(sfunktion) Zeit-Geschwindigkeit-Funktion |
| $s''(t) = -0.009 t^3+0.216 t^2-1.86 t+5.2$ | 2. Ableitung(sfunktion) Zeit-Beschleunigung-Funktion |
In den weiteren Kapiteln wirst du weitere Situationen kennenlernen, in denen Ableitungsfunktionen von Ableitungsfunktionen benötigt werden. Man nennt solche Ableitungsfunktionen höhere Ableitungen.
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle die Funktionsterme der höheren Ableitungen. Man gelangt zur nächst höheren Ableitung jeweils, indem man die aktuelle Ableitungsfunktion nochmal ableitet. In der Tabelle siehst du auch, welche Schreibweisen man für höhere Ableitungen benutzt.
| Funktion | Beschreibung |
|---|---|
| $f(x) = x^5 - 0.5x^4 + 2x^3 - x$ | Ausgangsfunktion |
| $f'(x) = ...$ | 1. Ableitung(sfunktion) |
| $f''(x) = ...$ | 2. Ableitung(sfunktion) |
| $f'''(x) = ...$ | 3. Ableitung(sfunktion) |
| $f^{(4)}(x) = ...$ | 4. Ableitung(sfunktion) |
| $f^{(5)}(x) = ...$ | 5. Ableitung(sfunktion) |
