Orthogonalität von Funktionsgraphen
Zur Orientierung
Folgende Frage soll hier geklärt werden:
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit sich zwei Funktionsgraphen senkrecht (man sagt hierzu auch orthogonal
) schneiden?
Orthogonalität von Geraden beschreiben
Betrachte zunächst zwei Geraden. Mache dich mit dem Applet vertraut und bearbeite dann die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: orthogonalitaetgeraden.ggb
Aufgabe 1
(a) Verändere die Lage der Gerade $g_1$ zunächst nicht. Bewege den Punkt $C$ so, dass der Winkel zwischen $g_1$ und $g_2$ genau $90°$ beträgt. Trage die Steigung von $g_2$ in die Tabelle unten ein.
(b) Ändere die Lage der Gerade $g_1$ so, dass sie die Steigung $1$ hat. Bewege den Punkt $C$ dann so, dass der Winkel zwischen $g_1$ und $g_2$ genau $90°$ beträgt. Trage die Steigung von $g_2$ in die Tabelle unten ein.
(c) Konstruiere weitere Geraden so, dass das Produkt der Steigungen $-1$ berägt. Trage die Steigungen in die Tabelle unten ein.
| $m_1$ Steigung von $g_1$ |
$m_2$ Steigung von $g_2$ |
$m_1 \cdot m_2$ |
| $0.5$ | ||
| $1$ | ||
| -1 | ||
| -1 |
Aufgabe 2
(a) Analysiere die Ergebnisse in der Tabelle. Was fällt auf? Ergänze die Bedingung.
Orthogonalität von Geraden
Die Geraden $g_1$ mit der Steigung $m_1$ und $g_2$ mit der Steigung $m_2$ sind orthogonal genau dann, wenn folgende Bedingung gilt:
$m_1 \cdot m_2 = \dots$ bzw. $m_1 = \dots$
Orthogonalität von Funktionsgraphen mathematisch beschreiben
Betrachte statt Geraden jetzt Funktionsgraphen. Nutze zur Verdeutlichung die Beispielfunktionen im folgenden Applet. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: fensterentwurf3.ggb
Aufgabe 3
Übetrage die Ergebnisse zur Orthogonalität von Geraden auf die Orthogonalität von Funktionsgraphen..
Orthogonalität von Funktionsgraphen
Die Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$ schneiden sich an der Stelle $x_0$ orthogonal, wenn gilt:
- $f_1(x_0) = \dots$
- $f_1'(x_0) = \dots$
Aufgabe 4
Wende das Kriterium für die Orthogonalität von Funktionsgraphen auf den Fensterentwurf im Applet an. Untersuche, ob sich die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $x_0 = 0$ orthogonal schneiden..
