Das Problem

Vermutungen entwickeln

Wir betrachten die Graphen von Potenzfunktionen mit $f(x) = x^n$, wobei $n$ eine natürliche Zahl größer als $1$ ist. Solche Graphen werden Parabeln genannt.

Im Applet kann man solche Funktionsgraphen mit dem Schieberegler einstellen. Auf dem Funktionsgraph befindet sich ein beweglicher Punkt $P$. Angezeigt wird jeweils die Tangente $t$ an Graph $f$ durch diesen Punkt $P$. Zusätzlich wird der Schnittpunkt $Y$ der Tangente $t$ mit der $y$-Achse angezeigt. Beachte dass die Koordinaten von $P$ und $Y$ ggf. gerundete Werte sind. Mache dich mit dem Applet vertraut und bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: tangentenparabeln.ggb

Aufgabe 1

Betrachte zunächst den Fall $n = 2$, d.h. die Potenzfunktion mit $f(x) = x^2$. Variiere die Lage des Punktes $P$ auf Graph $f$ und beobachte die jeweilge Lage des Punktes $Y$. Was fällt auf? Beschreibe den Zusammenhang.

Aufgabe 2

Betrachte auch weitere Potenzfunktionen (mit $n = 3, 4, 5$). Variiere auch hier die Lage des Punktes $P$ auf Graph $f$ und beobachte die jeweilge Lage des Punktes $Y$. Was fällt auf? Beschreibe die gefundenen Zusammenhänge.