Tangentengleichungen
Zur Orientierung
Wie beschreibt man die Tangente an einen Funktionsgraph mit einer Tangentengleichung? Wir klären diese Frage hier ganz allgemein und nutzen das Ergebnis im nächsten Abschnitt zur Lösung des Tangentenproblems bei Potenzfunktionen.
Eine Tangentengleichung bestimmen
Betrachte die im Applet gezeigte Situation und bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: tangentengleichung.ggb
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2x$ und der Punkt $P(2|4)$ auf Graph $f$. Gesucht ist die Funktionsgleichung der Tangente $t$ an Graph $f$ durch Punkt $P$.
Im Applet wird die Funktionsgleichung $t(x) = 10(x-2) + 4$ angezeigt. Begründe, dass die Funktion $t$ mit dieser Funktionsgleichung tatsächlich durch $P$ verläuft und dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P$ hat.
Aufgabe 2
Eine Gerade $g$ mit der Steigung $m$, die durch den Punkt $P(x_0|y_0)$ verläuft, kann mit der folgenden Funktionsgleichung in Punktsteigungsform beschrieben werden:
$g(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0$
Benutze diesen Zusammenhang, um eine allgemeine Formel für die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(x_0|f(x_0))$ auf Graph $f$ zu entwickeln.
