Lösung des Problems
Zur Orientierung
Wir verwenden hier die allgemeine Tangentengleichung aus dem letzten Abschnitt, um das Tangentenproblem bei Potenzfunktionen zu lösen.
Tangenten an Potenzfunktionen
Auf der Eingangsseite hast du vermutlich folgenden Zusammenhang gefunden:
Tangenten an Potenzfunktionen
-
$n = 2$:
Wenn der Punkt $P(x_0|y_0)$ auf dem Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ liegt, dann schneidet die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ die $y$-Achse im Punkt $Y(0|-y_0)$. -
$n = 3$:
Wenn der Punkt $P(x_0|y_0)$ auf dem Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^3$ liegt, dann schneidet die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ die $y$-Achse im Punkt $Y(0|-2y_0)$. -
$n$ eine beliebige natürliche Zahl größer als $1$:
Wenn der Punkt $P(x_0|y_0)$ auf dem Graph der Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$ liegt, dann schneidet die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ die $y$-Achse im Punkt $Y(0|-(n-1)y_0)$.
Im Applet kann man sich diesen Zusammenhang nochmal exemplarisch verdeutlichen.
Zum Herunterladen: tangentenparabeln.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte den Fall $n = 2$. Benutze die allgemeine Tangentengleichung $t(x) = \underbrace{f'(x_0)}_{m} \cdot (x - x_0) + \underbrace{f(x_0)}_{y_0}$, um den oben im Satz beschriebenen Zusammenhang zu begründen.
(b) Betrachte den Fall $n = 3$ und gehe analog zu Aufgabenteil (a) vor.
(c) Betrachte den allgemeinen Fall und gehe analog zu Aufgabenteil (a) und (b) vor.
