Bestimmung von Tangenten

Tangenten bestimmen

Betrachte die im Applet gezeigte Situation und bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.

Zum Herunterladen: tangentenproblem1.ggb

Aufgabe 1 (Strategie 1)

(a) Im Applet kann man die Gerade $g$ durch $Q$ und $P$ einblenden. Bestimme für einen beliebigen Punkt $P(x_0|f(x_0))$ auf Grapf $f$ die Steigung dieser Geraden $g$.

(b) Die Gerade $g$ soll eine Tangente an Graph $f$ darstellen. Beschreibe diesen Sachverhalt mit einer Zusatzbedingung, die die Steigung der Geraden $g$ erfüllen muss.

(c) Die Bedingung in Teilaufgabe (c) führt auf eine Gleichung mit der Unbekannten $x_0$. Löse diese Gleichung. Mit den Lösungen kannst du dann die gesuchten Punkte bzw. die zugehörigen Tangenten bestimmen.

Zur Kontrolle

Steigung von $g$: $m = \dfrac{3-(-x_0^2+1)}{0.5-x_0}$

Bedingung: $\underbrace{\dfrac{3-(-x_0^2+1)}{0.5-x_0}}_{m} = \underbrace{-2x_0}_{f'(x_0)}$

Gleichung: $x_0^2 - x_0 - 2 = 0$; Lösungen: $x_0 = -1$ oder $x_0 = 2$.

Aufgabe 2 (Strategie 2)

(a) Im Applet kann man die Tangente an Graph $f$ durch $P$ einblenden. Bestimme für einen beliebigen Punkt $P(x_0|f(x_0))$ auf Grapf $f$ eine Funktionsgleichung für diese Tangente $t$.

(b) Die Gerade $t$ soll durch den Punkt $Q$ verlaufen. Beschreibe diesen Sachverhalt mit einer Zusatzbedingung, die die Funktion $t$ erfüllen muss.

(c) Die Bedingung in Teilaufgabe (c) führt auf eine Gleichung mit der Unbekannten $x_0$. Löse diese Gleichung. Mit den Lösungen kannst du dann die gesuchten Punkte bzw. die zugehörigen Tangenten bestimmen.

Zur Kontrolle

Tangentengleichung: $t(x) = \underbrace{(-2x_0)}_{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + \underbrace{(-x_0^2+1)}_{f(x_0)}$

Bedingung: $t(0.5) = 3$

Gleichung: $x_0^2 - x_0 - 2 = 0$; Lösungen: $x_0 = -1$ oder $x_0 = 2$.