Lösung des Problems

Das Grundprinzip eines Parabolspiegels untersuchen

Das folgende Applet verdeutlicht das Grundprinzip eines Parabolspiegels. Bearbeite die Aufgabe unterhalb des Applets.

Zum Herunterladen: parabolspiegel1.ggb

Aufgabe 1

Aktiviere im Applet nacheinander die Kontrollkästchen und mache dich so mit dem Grundprinzip eines Parabolspiegels vertraut.

• Parabolspiegel: Der Parabolspiegel hat – wie der Name es sagt – eine Parabelform. Ein Parabolspiegel ist 3-dimensional. Wir betrachten hier nur einen 2-dimensionalen Schnitt durch die Spiegelmitte. Man erhält dann eine Parabel. Wir beschreiben diese Parabel mit der Quadratfunktion $f(x) = x^2$.
• Punkt auf dem Spiegel: Wir betrachten einen beliebigen Punkt $P$ auf der Spiegeloberfläche (mit der $x$-Koordinate $x_0$). Den Punkt $P$ kann man im Applet auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen.
• einfallender Strahl: Der einfallende Strahl trifft senkrecht von oben auf den Punkt $P$ des Parabel-Spiegels.
• Mini-Spiegel: Der Parabel-Spiegel ist gekrümmt. Lokal kann man ihn mit einem geraden Mini-Spiegel annähern. Hierzu benutzten wir die Tangente $t$ an Graph $f$ im Punkt $P$. Wichtig für die Spiegelung ist der Einfallswinkel $\gamma$ zwischen dem einfallenden Strahl und dem Mini-Spiegel bzw. der Tangente $t$.
• reflektierter Strahl: Der reflektierte Strahl entsteht nach dem Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Reflexionswinkel. Die Reflexion findet dabei im Punkt $P$ am Mini-Spiegel statt. Im Applet sind ist der Reflexionswinkel Winkel rot hervorgehoben. Begründe, dass der reflektierte Strahl dann insgesamt den Winkel $2\gamma$ mit der Verlängerung des einfallenden Strahls bildet.
• Brennpunkt: Der reflektierte Strahl schneidet die $y$-Achse in einem Punkt $F$. Dieser Punkt wird auch Brennpunkt genannt. Variiere die Lage von $P$ und erkläre diese Namensgebung.

Das Grundprinzip eines Parabolspiegels erklären

Unklar im Applet oben ist noch, warum alle reflektierten Strahlen gebündelt durch einen festen Brennpunkt $F$ auf der $y$-Achse verlaufen. Die Überlegungen hierzu erfolgen in den weiteren Aufgaben.

Aufgabe 2

Zur Vorbereitung werden Winkel an Geraden mit der Steigung der Geraden in Beziehung gesetzt. Erkläre mit Hilfe des Applets folgende Zusammenhänge. Beachte, dass man die Lage der Geraden $g$ mit den beweglichen Punkten $A$ und $B$ variieren kann.

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Zum Herunterladen: steigungswinkelgerade2.ggb

Aufgabe 3

Betrachte die im Applet gezeigte Situation beim Parabolspiegel. Ziel dieser Aufgabe ist es, eine Formel für die Steigung $m_g$ der Geraden $g$ zum reflektierten Strahl zu entwickeln, die nur von der betrachteten Stelle $x_0$ abhängt.

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Zum Herunterladen: parabolspiegel2.ggb

Benutze für die Herleitung der Formel die folgenden (bereits bekannten und hier zusätzlich vorgegebenen) Zusammenhänge:

• $m_g = \dfrac{1}{\tan(2\gamma)}$ (Das kannst du begründen.)
• $m_t = 2x_0 = \dfrac{1}{\tan(\gamma)}$ (Das kannst du begründen.)
• $\tan(2\gamma) = \dfrac{2\tan(\gamma)}{1-(\tan(\gamma))^2}$ (Das wird hier zusätzlich vorgegeben.)

Zur Kontrolle

$m_g = \dfrac{4x_0^2 - 1}{4x_0}$

Aufgabe 4

Beschreibe die Gerade $g$ zum reflektierten Strahl mit einer Geradengleichung und bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $y$-Achse. Erkläre dann, dass alle reflektierten Stahlen sich in einem Brennpunkt auf der $y$-Achse treffen.

Zur Kontrolle

$g(x) = m_g \cdot (x - x_0) + f(x_0) = \dfrac{4x_0^2 - 1}{4x_0} \cdot (x - x_0) + x_0^2$

$g(0) = \dfrac{4x_0^2 - 1}{4x_0} \cdot (-x_0) + x_0^2 = \dfrac{1}{4}$

Der Schnittpunkt der reflektierten Strahlen mit der $y$-Achse hängt nicht von der Lage $x_0$ des einfallenden Strahls ab. Der Brennpunkt $F$, in dem sich die reflektierten Strahlen treffen, hat die Koordinaten $F(0|0.25)$.