Übungen - Problemlösen mit Ableitungen
Aufgabe 1
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$.
(a) Bestimme die Gleichung der Tangente an Graph $f$ im Punkt mit der $x$-Koordinate $1$ bzw. $-1$.
(b) Die Tangente an Graph $f$ in einem Punkt $P$ soll durch $Q(0|4)$ verlaufen. Wie viele solche Punkte $P$ gibt es? Bestimme deren Koordinaten.
Aufgabe 2
Betrachte die Funktionen $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$ sowie $g$ mit $g(x) = x^2 + bx + c$ mit den Parametern $b$ und $c$.
(a) Die Funktionsgraphen von $f$ und $g$ sollen sich im Punkt $P(1|0)$ berühren. Bestimme passende Werte der Parameter $b$ und $c$.
(b) Die Funktionsgraphen von $f$ und $g$ sollen sich an einer Stelle $x_0$ berühren. Wie kann man passende Parameter $b$ und $c$ direkt aus $x_0$ berechnen?
Aufgabe 3
Betrachte die Funktionen $f$ mit $f(x) = -x^2 + c$ sowie $g$ mit $g(x) = x^2 - c$ mit dem Parameter $c$.
(a) Betrachte den Fall $c = 1$. Zeige, dass die beiden Funktionsgraphen sich zwar schneiden, aber nicht orthogonal schneiden.
(b) Gibt es einen Wert für $c$, so dass sich die beiden Funktionsgraphen orthogonal schneiden? Wenn ja, dann bestimme diesen Wert.
Aufgabe 4
Betrachte die Funktionen $f$ mit $f(x) = x^2 - c$ sowie $g$ mit $g(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.
(a) Bestimme den Wert des Parameters $c$ so, dass Graph $f$ und Graph $g$ sich (in zwei Punkten) berühren.
(b) Gibt es einen Wert des Parameters $c$ so, dass Graph $f$ und Graph $g$ sich orthogonal schneiden? Begründe.
Aufgabe 5
Betrachte die Funktionen $f$ mit $f(x) = x^2 + c$ sowie $g$ mit $g(x) = -x^2 - c$ mit dem Parameter.
(a)
Betrachte den Fall $c = 1$.
Die Tangenten an Graph $f$ im Punkt $P(0|1)$ und an Graph $g$ im Punkt $Q(0|-1)$ sind parallel und legen so einen Streifen
zwischen den
beiden Graphen fest.
Bestimme die Lage von $Q$ auf Graph $g$, so dass $P(0.5|1.25)$ und $Q$ ebenfalls einen Streifen zwischen den beiden Graphen bilden.
(b) Gibt es für jeden vorgegebenen Punkte $P$ auf Graph $f$ einen passenden Punkt $Q$ auf Graph $g$, so dass die beiden Punkte einen Streifen zwischen den Funktionsgraphen festlegen? Begründe.
(c) Betrachte jetzt ein beliebiges $c > 0$. Verallgemeinere das Ergebnis aus Aufgabenteil (b).
