Es gilt: $t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Für $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$ und $x_0 = 1$ erhält man: $t(x) = -(x - 1) + 1.5$

Für $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$ und $x_0 = -1$ erhält man: $t(x) = (x + 1) + 1.5$

Ein Punkt $P$ auf Graph $f$ hat die Koordinaten $P(x_0|f(x_0))$. Für die Tangente an Graph $f$ im Punkt $P$ gilt dann: $t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = -x_0(x - x_0) + 2 - \frac{1}{2}x_0^2$

Zusätzlich soll die Tangente durch $Q(0|4)$ verlaufen. Es muss also zusätzlich $t(0) = 4$ gelten. Man erhält dann folgende Bedingung:

$4 = -x_0(0 - x_0) + 2 - \frac{1}{2}x_0^2$

Durch Umformen ergibt sich:

$4 = x_0^2$

Also: $x_0 = 2$ oder $x_0 = -2$. Die gesuchten Punkte auf Graph $f$ sind demnach $(2|0)$ und $(-2|0)$.

Die Funktionen müssen folgende Bedingungen erfüllen: $f(1) = 0$, $g(1) = 0$ sowie $f'(1) = g'(1)$.

Die Bedingung $f(1) = 0$ ist für die gegenbene Funktion $f$ erfüllt.

Damit $g(1) = 0$ ist, muss $1 + b + c = 0$ gelten.

Die Bedingung $f'(1) = g'(1)$ ist nur erfüllt, wenn $-2 = 2 + b$ gilt.

Hieraus folgt: $b = -4$ und $c = 3$.

Die Funktionen müssen folgende Bedingungen erfüllen: $f(x_0) = g(x_0)$ sowie $f'(x_0) = g'(x_0)$.

Aus der Bedingung $f'(x_0) = g'(x_0)$ folgt, dass $b = -4x_0$ gelten muss.

Aus der Bedingung $f(x_0) = g(x_0)$ zusammen mit $b = -4x_0$ ergibt sich, dass $c = 2x_0^2 + 1$ gelten muss.

Damit die beiden Funktionsgraphen sich an einer Stelle $x_0$ schneiden, muss $f(x_0) = g(x_0)$ gelten. Also: $-x_0^2 + 1 = x_0^2 - 1$. Hieraus folgt, dass $x_0 = 1$ oder $x_0 = -1$.

Zur Überprüfung der Orthogonalität berechnet man das Produkt $f'(x_0) \cdot g'(x_0)$. Für $x_0 = 1$ erhält man $f'(1) \cdot g'(1) = -4 \neq -1$. Für $x_0 = -1$ erhält man ebenfalls $f'(-1) \cdot g'(-1) = -4 \neq -1$.

Die beiden Graphen schneiden sich also nicht orthogonal.

Damit die beiden Funktionsgraphen sich an einer Stelle $x_0$ schneiden, muss $f(x_0) = g(x_0)$ gelten. Also: $-x_0^2 + c = x_0^2 - c$. Hieraus folgt, dass $x_0 = \sqrt(c)$ oder $x_0 = -\sqrt(c)$.

Zur Überprüfung der Orthogonalität berechnet man das Produkt $f'(x_0) \cdot g'(x_0)$. Für $x_0 = \sqrt(c)$ erhält man $f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -4c$.

Damit Orthogonalität vorliegt, muss $f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1$ gelten. Hieraus ergibt sich, dass $c = \frac{1}{4}$. Dieser Wert erfüllt dann auch tatsächlich die Orthogonalitätsbedingung.

Für $x_0 = -\sqrt(c)$ erhält man aus Symmetriegründen denselben Wert für $c$.

Damit die beiden Funktionsgraphen sich an einer Stelle $x_0$ berühren, muss $f'(x_0) = g'(x_0)$ gelten. Also: $2x_0 = 2\dfrac{1}{x_0^3}$. Hieraus folgt, dass $x_0^4 = 1$ gelten muss. Diese Gleichung hat die Lösungen $x_0 = 1$ und $x_0 = -1$. D.h., nur an den Stellen $x_0 = 1$ und $x_0 = -1$ haben Graph $f$ und $Graph g$ gleiche Steigungen.

Damit die beiden Funktionsgraphen sich an einer Stelle $x_0$ berühren, muss zusätzlich $f(x_0) = g(x_0)$ gelten. Für $x_0 = 1$ erhält man dann $1 - c = -1$ bzw. $c = 2$. Aus Symmetriegründen erhält man $c = 2$ ebenso für $x_0 = -1$.

Also: Graph $f$ und Graph $g$ sich in zwei Punkten, wenn $c = 2$ gilt.

Für jede Stelle $x_0$ gilt: $f'(x_0) \cdot g'(x_0) = 2x_0 \cdot \dfrac{2}{x_0^3} = \dfrac{4}{x_0^2} \geq 0$. Es gibt also keine Stelle $x_0$ mit $f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1$. Die beiden Funktionsgraphen können sich daher nicht orthogonal schneiden.

Die Steigung im Punkt $P(0.5|1.25)$ beträgt $m = f'(0.5) = 1$.

Gesucht ist eine Stelle $x_1$, so dass $g'(x_1) = 1$. Die Bedingung $g'(x_1) = 1$ liefert $-2x_1 = 1$ bzw. $x_1 = -0.5$. Im Punkt $Q(-0.5|-1.25)$ hat Graph $g$ somit dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P(0.5|1.25)$.

Zu klären ist noch, ob die Tangenten in $P$ und in $Q$ tatsächlich einen Streifen zwischen den Funktionsgraphen bilden. Wir prüfen hierzu, ob die Tangente in $P$ und Graph $g$ sich schneiden.

Die Bedingung $tf(x) = g(x)$ führt zur Gleichung $(x - 0.5) + 1.25 = -x^2 - 1$. Das Umstellen der Gleichung ergibt $x^2 + x + 1.75 = 0$. Diese Gleichung hat keine Lösungen. Die Determinante beträgt hier $D = 0.5^2 - 1.75 = -1.5$.

Zu jedem Punkt $P(x_0|f(x_0))$ auf Graph $f$ gibt es einen Punkt $Q$ auf Graph $g$, so dass beide Graphen in den entsprechenden Punkten dieselbe Steigung haben. Das sieht man direkt aufgrund der Symmetrieeigenschaften der Graphen.

Zu klären ist noch, ob die Tangenten in $P$ und Graph $g$ sich nicht schneiden.

Die Bedingung $tf(x) = g(x)$ führt ganz allgemein zur Gleichung $f'(x_0)(x - 0.5) + f(x_0) = g(x_0)$. Durch Einsetzen der Funktionsterme erhält man die Gleichung $2x_0(x - x_0) + (x_0^2 + 1) = -x^2 - 1$. Durch Umstellen ergibt sich hieraus $x_0^2 + 2x_0x + 2 - x_0^2 = 0$ Die Determinante beträgt hier $D = x_0^2 - (2 - x_0^2) = 2x_0^2 - 2$. Die Bedingung $D \text{ < } 0$ führt dann zu $x_0^2 \text{ < } 1$ bzw. $-1 \text{ < } x_0 \text{ < } 1$.

Nur, wenn der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ eine $x$-Kordinate $x_0$ hat, die im Intervall $-1 \text{ < } x_0 \text{ < } 1$ liegt, gibt es den gesuchten Streifen.

Mit denselben Überlegungen wie in (a) und (b) erhält man folgendes Ergebnis: Nur, wenn der Punkt $P(x_0|f(x_0))$ eine $x$-Kordinate $x_0$ hat, die im Intervall $-\sqrt{c} \text{ < } x_0 \text{ < } \sqrt{c}$ liegt, gibt es den gesuchten Streifen.