Strukturierung – Bedingte Wahrscheinlichkeit
Einstieg – Von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
Wir gehen hier von einer Befragung zu zwei Merkmalen aus und betrachten sie als Zufallsexperiment:
Beispiel
Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf zwei Merkmale beobachten:
- Merkmal 1 erfüllt? (ja / nein)
- Merkmal 2 erfüllt? (ja / nein)
Zur Beschreibung der Ergebnisse der Befragung benutzen wir die folgenden Ereignisse:
- $A$: Merkmal 1 erfüllt? ja
- $\overlinepatch{A}$: Merkmal 1 erfüllt? nein
- $B$: Merkmal 2 erfüllt? ja
- $\overlinepatch{B}$: Merkmal 2 erfüllt? nein
Die relativen Häufigkeiten zur Befragung werden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet. Das kannst du dir im folgenden Applet anschauen.
Hinweise zur Bedienung
- Mit dem Schalter in der linken oberen Ecke des unteren Fensters lassen sich jetzt wahlweise absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten oder die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten einblenden.
- Nach wie vor wird im unteren Fenster eine Vierfeldertafel angezeigt. Im oberen Fenster werden die Daten mit einem Einheitsquadrat veranschaulicht.
Zum Herunterladen: vierfeldertafel_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb
Aufgabe 1
Im Applet wird die Schreibweise $P(A|B)$ für eine bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt. Ergänze die Deutung dieser Schreibweise. Orientiere dich an der Deutung von $h(A|B)$.
$P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, ...
Aufgabe 2
Gib eine Formel zu Bestimmung von $P(A|B)$ an. Orientiere dich an den Formeln zur Berechnung von $h(A|B)$. Überprüfe die Formel mit dem Applet.
$P(A|B) = \displaystyle{\frac{\dots}{\dots}}$
Erarbeitung – Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm darstellen
Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut in einem Baumdiagramm verdeutlichen.

Aufgabe 3
Wir benutzen hier die voreingestellten Daten im Applet.
Die Ereignisse $A$ und $B$ sind bereits als Knoten im Baumdiagramm vorgegeben. Der Baum legt eine Abhängigkeit fest: Wenn $B$ (bzw. $\overlinepatch{B}$) eintritt, dann betrachte $A$ (bzw. $\overlinepatch{A}$).
Trage die folgenden Wahrscheinlichkeiten an die passenden Stellen im Baumdiagramm ein.
- $P(B) = 0.75$
- $P(\overlinepatch{B}) = 0.25$
- $P(A|B) \approx 0.333$
- $P(\overlinepatch{A}|B) \approx 0.667$
- $P(A|\overlinepatch{B}) = 0.2$
- $P(\overlinepatch{A}|\overlinepatch{B}) = 0.8$
- $P(B \cap A) = 0.25$
- $P(B \cap \overlinepatch{A}) = 0.5$
- $P(\overlinepatch{B} \cap A) = 0.05$
- $P(\overlinepatch{B} \cap \overlinepatch{A}) = 0.2$
Nutze das folgende Applet zur Kontrolle; stelle dafür den Schieberegler im unteren Fenster ganz nach rechts und blende den Baum ein.
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
Zum Herunterladen: vierfeldertafel_baumdiagramm_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb
Vertiefung – Eine Pfadregel mit bedingten Wahrscheinlichkeiten entwickeln
Betrachte die Verdeutlichung bedingter Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm im vorangehenden Applet.
Aufgabe 4
Untersuche folgende Frage: Wie lässt sich $P(A \cap B)$ aus den Wahrscheinlichkeiten $P(B)$ und $P(A | B)$ bestimmen?
Sicherung der Erkenntnisse
Hier werden alle gewonnenen Erkenntnisse strukturiert gesichert.
Aufgabe 5
🖊️ Ergänze die fehlenden Stellen der folgenden Definition und übernimm sie ins Glossar.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B}(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit ... unter der Bedingung ... und wird wie folgt festgelegt:
$P(A | B) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$
Dabei wird vorausgesetzt, dass $... > 0$ gilt.