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Strukturierung – Bedingte Wahrscheinlichkeit

Einstieg – Von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten

Wir gehen hier von einer Befragung zu zwei Merkmalen aus und betrachten sie als Zufallsexperiment:

Beispiel

Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf zwei Merkmale beobachten:

  • Merkmal 1 erfüllt? (ja / nein)
  • Merkmal 2 erfüllt? (ja / nein)

Zur Beschreibung der Ergebnisse der Befragung benutzen wir die folgenden Ereignisse:

  • $A$: Merkmal 1 erfüllt? ja
  • $\overlinepatch{A}$: Merkmal 1 erfüllt? nein
  • $B$: Merkmal 2 erfüllt? ja
  • $\overlinepatch{B}$: Merkmal 2 erfüllt? nein

Die relativen Häufigkeiten zur Befragung werden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet. Das kannst du dir im folgenden Applet anschauen.

Hinweise zur Bedienung

  • Mit dem Schalter in der linken oberen Ecke des unteren Fensters lassen sich jetzt wahlweise absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten oder die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten einblenden.
  • Nach wie vor wird im unteren Fenster eine Vierfeldertafel angezeigt. Im oberen Fenster werden die Daten mit einem Einheitsquadrat veranschaulicht.

Zum Herunterladen: vierfeldertafel_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb

Aufgabe 1

Im Applet wird die Schreibweise $P(A|B)$ für eine bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt. Ergänze die Deutung dieser Schreibweise. Orientiere dich an der Deutung von $h(A|B)$.

$P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, ...

Aufgabe 2

Gib eine Formel zu Bestimmung von $P(A|B)$ an. Orientiere dich an den Formeln zur Berechnung von $h(A|B)$. Überprüfe die Formel mit dem Applet.

$P(A|B) = \displaystyle{\frac{\dots}{\dots}}$

Erarbeitung – Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm darstellen

Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut in einem Baumdiagramm verdeutlichen.

Baumdiagramm

Aufgabe 3

Wir benutzen hier die voreingestellten Daten im Applet.

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind bereits als Knoten im Baumdiagramm vorgegeben. Der Baum legt eine Abhängigkeit fest: Wenn $B$ (bzw. $\overlinepatch{B}$) eintritt, dann betrachte $A$ (bzw. $\overlinepatch{A}$).

Trage die folgenden Wahrscheinlichkeiten an die passenden Stellen im Baumdiagramm ein.

  • $P(B) = 0.75$
  • $P(\overlinepatch{B}) = 0.25$
  • $P(A|B) \approx 0.333$
  • $P(\overlinepatch{A}|B) \approx 0.667$
  • $P(A|\overlinepatch{B}) = 0.2$
  • $P(\overlinepatch{A}|\overlinepatch{B}) = 0.8$
  • $P(B \cap A) = 0.25$
  • $P(B \cap \overlinepatch{A}) = 0.5$
  • $P(\overlinepatch{B} \cap A) = 0.05$
  • $P(\overlinepatch{B} \cap \overlinepatch{A}) = 0.2$

Nutze das folgende Applet zur Kontrolle; stelle dafür den Schieberegler im unteren Fenster ganz nach rechts und blende den Baum ein.

Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm




Zum Herunterladen: vierfeldertafel_baumdiagramm_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb

Vertiefung – Eine Pfadregel mit bedingten Wahrscheinlichkeiten entwickeln

Betrachte die Verdeutlichung bedingter Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm im vorangehenden Applet.

Aufgabe 4

Untersuche folgende Frage: Wie lässt sich $P(A \cap B)$ aus den Wahrscheinlichkeiten $P(B)$ und $P(A | B)$ bestimmen?

Tipp

Nutze die Pfadregel für mehrstufige Zufallsexperimente.

Sicherung der Erkenntnisse

Hier werden alle gewonnenen Erkenntnisse strukturiert gesichert.

Aufgabe 5

🖊️ Ergänze die fehlenden Stellen der folgenden Definition und übernimm sie ins Glossar.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B}(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit ... unter der Bedingung ... und wird wie folgt festgelegt:

$P(A | B) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$

Dabei wird vorausgesetzt, dass $... > 0$ gilt.

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