Erarbeitung – Mathematisierung
Leitfrage
Ziel ist es, den Test der Skeptiker unter mathematischen Gesichtpunkten zu analysieren.
Das Experiment als Zufallsexperiment deuten
Zur Überprüfung der Fähigkeiten des Kandidaten H.K. haben die Skeptiker folgendes Experiment vorgesehen:
Der Kandidat H.K. soll 13-mal Wasser mit seinen Stäben suchen, das in einem von 10 Eimern versteckt ist.
Aufgabe 1
(a) Warum handelt es sich aus Sicht der Skeptiker beim vorgeschlagenen Experiment um ein Zufallsexperiment?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft der Kandidat den richtigen Eimer aus Sicht der Skeptiker? Ergänze diese Wahrscheinlichkeit bei der Beschreibung der Hypothese. Diese Hypothese wird auch Nullhypothese genannt.
$H_0: p = \dots$
(c) Begründe, dass es sich beim durchzuführenden Experiment aus Sicht der Skeptiker um eine Bernoulli-Kette handelt. Ergänze den folgenden zusammenfassenden Satz:
Aus Sicht der Skeptiker handelt es sich bei dem Experiment um eine Bernoulli-Kette mit den Parametern $n = \dots$ und $p = \dots$.
Trefferwahrscheinlichkeiten bestimmen
Der Kandidat landet einen Treffer, wenn er den Eimer mit Wasser richtig bestimmt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Treffer bei der Durchführung des Experiments.
Aufgabe 2
Gehe von der Nullhypothese $H_0$ aus, dass der Kandidat den Eimer mit Wasser nur rät. Mit welcher Wahrscheinlichkeit landert er dann $0$ Treffer, $1$ Treffer, $2$ Treffer usw.? Bestimme diese Wahrscheinlichkeiten mit dem folgenden Applet. Stelle hierzu zunächst die Parameter der Binomialverteilung korrekt ein.
Zum Herunterladen: binomialverteilung5.ggb
Fehlerwahrscheinlichkeiten bestimmen
Der Kandidat hat den Test bestanden, wenn er mindestens 7-mal den Eimer mit Wasser richtig bestimmt hat.
Aufgabe 3
(a) Bestimme mit Hilfe des Applets die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, dass der Kandidat den Test besteht und die Nullhypothese daher verworfen wird, obwohl der Kandidat rät (bzw. die Nullhypothese $H_0$ zutrifft).
(b) Es könnte sein, dass der Kandidat tatsächlich Wasser besser mit seinen Stäben ermitteln kann als jemand, der nur rät. Der Kandidat H.P. behauptet zumindest, dass er zu Hause den Eimer mit Wasser in ca. $80\%$ aller Fälle (also mit der Wahrscheinlichkeit von $p_K = 0.8$) richtig vorhersagt. Bestimme mit Hilfe des Applets die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, dass der Kandidat den Test nicht besteht und die Nullhypothese daher beibehalten wird, obwohl der Kandidat die Fähigkeit in dem behaupteten Umfang tatsächlich hat (bzw. die Nullhypothese $H_0$ nicht zutrifft).
(c) Deute die in (a) und (b) bestimmten Wahrscheinlichkeiten. Ergänze hierzu die folgenden Sätze:
Fehler 1. Art (falsch positiv
): Wenn $10000$ ratende Kandidaten das Testverfahren durchlaufen, dann müssen die Skeptiker damit rechnen, dass ...
Fehler 2. Art (falsch negativ
): Wenn $100$ Kandidaten mit $80\%$iger Fähigkeitstrefferquote das Testverfahren durchlaufen,
dann müssen die Skeptiker damit rechnen, dass ...
Aufgabe 4
Wir ändern die Entscheidungsregel des Tests der Skeptiker wie folgt ab:
Version 1: Sie sollen 13-mal Wasser suchen, das in einem von 10 Eimern versteckt ist. Mindestens 6-mal müssen sie richtig liegen, um den Test zu bestehen.
Version 2: Sie sollen 13-mal Wasser suchen, das in einem von 10 Eimern versteckt ist. Mindestens 8-mal müssen sie richtig liegen, um den Test zu bestehen.
(a) Erläutere, was diese Änderungen aus Sicht des Kandidaten bzw. aus Sicht der Skeptiker bedeuten.
(b) Bestimme die Fehlerwahrscheinlichkeiten für die abgeänderten Entscheidungsregeln.
