Beispiel – Integrale näherungsweise bestimmen
Die Ausgangssituation klären
Wir betrachten die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Ziel ist es, Integrale über diese Funktion auf verschiedenen Intervallen zu bestimmen.
Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb
Unter- und Obersummen selbst berechnen
Aufgabe 1 ★
Wir betrachten das Intervall $0 \leq x \leq 3$ und unterteilen es in $n = 6$ Teile.
Ergänze die Angaben und Berechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.
(a) Untersumme $U_6$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe mal Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $[0.0 \, ; 0.5]$ | $f(0) = 0$ | $0.5$ | $0 \cdot 0.5 = 0$ |
| $[0.5 \, ; 1.0]$ | $f(0.5) = 0.5^2 = 0.25$ | $0.5$ | $0.25 \cdot 0.5 = \dots $ |
| $[1.0 \, ; 1.5]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[1.5 \, ; 2.0]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2.0 \, ; 2.5]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2.5 \, ; 3.0]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
Ergebnis: $U_6 = 0 + \dots = \dots $
(b) Obersumme $O_6$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe mal Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $[0.0 \, ; 0.5]$ | $f(0.5) = 0.25$ | $0.5$ | $0.25 \cdot 0.5 = 0.125$ |
| $[0.5 \, ; 1.0]$ | $f(1) = \dots $ | ... | ... |
| $[1.0 \, ; 1.5]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[1.5 \, ; 2.0]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2.0 \, ; 2.5]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
| $[2.5 \, ; 3.0]$ | $\dots $ | $\dots $ | $\dots $ |
Ergebnis: $O_6 = 0.125 + \dots = \dots $
(c) Aus der Untersumme $U_6$ und der Obersumme $O_6$ wird eine erste Abschätzung von $I_0(3) = \int_0^3 f(x) dx$ generiert. Ergänze die ermittelten Zahlenwerte.
$\dots \leq \int_0^3 f(x) dx \leq \dots$
(d) Ermittele eine bessere Abschätzung von $\int_0^3 f(x) dx$.
$\dots \leq \int_0^3 f(x) dx \leq \dots$
Aufgabe 2 ★★
Wir betrachten das Intervall $0 \leq x \leq 1$.
(a) Ermittle mit dem Applet Abschätzungen für $\int_0^1 f(x) dx$. Betrachte hierzu die Unterteilungen $n = 10$, $n = 100$ und $n = 1000$. Gib die Abschätzungen jeweils in der Form $U_n \leq \int_0^1 f(x) dx \leq O_n$ an.
(b) Stelle mit Hilfe der Ergebnisse aus (a) eine Vermutung über den genauen Zahlenwert von $\int_0^1 f(x) dx$ auf.
Eine allgemeine Formel
Es ist recht mühsam, immer das Applet zu verwenden, um Integralwerte zu bestimmen. Vorteilhaft wäre eine allgemeine Formel. In der folgenden Aufgabe sollst du eine Vermutung für solch eine Formel entwickeln.
Aufgabe 3 ★★★
Stelle eine Vermutung für eine allgemeine Formel zur Berechnung von $I_0(b) = \int_0^b f(x) dx$ dar.
$I_0(b) = \dots $
