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Zusammenfassung - Lösungsmengen eines linearen Gleichungssystems

Lösungen eines LGS

Betrachte das folgende LGS:

[1]x1x2x3=1[2]2x1x23x3=1[3]x1+x23x3=1

Dieses LGS hat u.a. folgende Lösungen:

  • (x1;x2;x3)=(2;0;1)
  • (x1;x2;x3)=(4;1;2)
  • (x1;x2;x3)=(6;2;3)

Das kann man mit einer Probe überprüfen. Dabei setzt man die Werte für die Variablen in alle Gleichungen ein. Man erhält dann jeweils eine wahre Aussage.

Folgende Fragen ergeben sich hieraus:

Unser Ziel

Wie viele Lösungen hat das vorgegebene LGS? Wie viele Lösungen kann ein beliebiges LGS haben?

Folgerungen aus den Ergebnissen des Gauß-Verfahrens

Die beiden folgenden Übersichten zeigen verschiedene Situationen, die bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens bei linearen Gleichungssystemen mit 3 Gleichungen und 3 Variablen entstehen können.

Beispiel 1 Beispiel 2
[1]x1x2x3=1[2]2x1x23x3=1[3]x1+x22x3=1 [1]x1x2x3=2[2]2x1x23x3=1[3]x1+x23x3=3
Äquivalenzumformungen
[2][2]+[1](2)
[3][3]+[1](1)
[3][3]+[2](2)
Äquivalenzumformungen
[2][2]+[1](2)
[3][3]+[1](1)
[3][3]+[2](2)
[1]x1x2x3=1[2]x2x3=1[3]x3=2 [1]x1x2x3=2[2]x2x3=5[3]0=11
rückwärts auflösen
[3]x3=2[2]x2=1[1]x1=4
genau eine Lösung keine Lösungen
(x1;x2;x3)=(4;1;2)
Beispiel 3 Beispiel 4
[1]x1x2x3=1[2]2x1x23x3=1[3]x1+x23x3=1 [1]x1x2x3=1[2]2x12x22x3=2[3]x1+x2+x3=1
Äquivalenzumformungen
[2][2]+[1](2)
[3][3]+[1](1)
[3][3]+[2](2)
Äquivalenzumformungen
[2][2]+[1](2)
[3][3]+[1]
[1]x1x2x3=1[2]x2x3=1[3]0=0 [1]x1x2x3=1[2]0=0[3]0=0
rückwärts auflösen
[2]x2=x31[1]x1=x2+x3+1=2x3
rückwärts auflösen
[1]x1=x2+x3+1
unendlich viele Lösungen unendlich viele Lösungen
(x1;x2;x3)=(2x3;x31;x3)
mit einer beliebigen reellen Zahl x3
(x1;x2;x3)=(x2+x3+1;x2;x3)
mit beliebigen reellen Zahlen x2 und x3

Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens können Gleichungen entstehen, die keine Variablen mehr enthalten. Dabei sind Gleichung wie z.B. 0=1 oder 1=3 möglich, die nicht erfüllbar sind. Möglich sind auch Gleichungen wie z.B. 0=0 oder 3=3, die stets erfüllt bzw. allgemeingültig sind. Die Auswertung solcher Gleichungen führt bei linearen Gleichungssystemen mit 3 Gleichungen und 3 Variablen zu folgenden Fällen:

Lösungsmengen eines linearen Gleichungssystems

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (mit 3 Gleichungen und 3 Variablen) besteht aus keiner Lösung oder genau einer Lösung oder unendlich vielen Lösungen.

Beachte: Wir haben oben nur LGSe mit 3 Gleichungen und 3 Variablen betrachtet. Mit entsprechenden Überlegungen kann man zeigen, dass das zentrale Ergebnis über die Anzahl der Lösungen für beliebige lineare Gleichungssysteme gilt.

Keine Lösung:

[1]x1x2x3=2[2]2x1x23x3=1[3]x1+x23x3=3
Äquivalenzumformungen
[1]x1x2x3=2[2]x2x3=5[3]0=11
rückwärts auflösen
nicht möglich
Lösung(en)
Es gibt keine Lösungen.

Unendlich viele Lösungen:

[1]x1x2x3=1[2]2x1x23x3=1[3]x1+x23x3=1
Äquivalenzumformungen
[1]x1x2x3=1[2]x2x3=1[3]0=0
rückwärts auflösen
[2]x2=x31[1]x1=x2+x3+1=2x3
Lösung(en)
(x1;x2;x3)=(2x3;x31;x3)
mit einer beliebigen reellen Zahl x3

Unendlich viele Lösungen:

[1]x1x2x3=1[2]2x12x22x3=2[3]x1+x2+x3=1
Äquivalenzumformungen
[1]x1x2x3=1[2]0=0[3]0=0
rückwärts auflösen
[1]x1=x2+x3+1
Lösung(en)
(x1;x2;x3)=(x2+x3+1;x2;x3)
mit beliebigen reellen Zahlen x2 und x3

Phase 2: Die Gleichungen des LGS in Stufenform nach den Variablen auflösen

GleichungenTabelle
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2+x3=1[3]2x3=4 [1]1210[2]0311[3]0024
rückwärts auflösen
Lösung des LGS [1]x1=4[2]x2=1[3]x3=2

Wenn man ein LGS beim Lösen umformt, dann darf sich dabei die Lösungsmenge nicht verändern. Umformungsschritte, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformungen eines LGS

Die folgenden Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen und verändern somit die Lösungsmenge des LGS beim Umformen nicht:

  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
  • eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
  • eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
  • zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren

Beachte, dass sich die letztgenannte Umformung aus den beiden ersten zusammensetzt. Beachte auch, dass es weitere Äquivalenzumformungen gibt wie z.B.: eine Gleichung von einer anderen subtrahieren. Das Vertauschen von Zeilen benötigt man zum Lösen eines LGS nicht. Es ist aber zweckmäßig um die Stufenform auch optisch in Stufen darzustellen.

Beispiel – ein LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen

Von der Rechteckform zur Stufenform

Zunächst wird ein vorgegebenes LGS, das in Rechteckform vorliegen kann, schrittweise mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine Stufenform transformiert.

GleichungenTabelle
LGS in Rechteckform [1]3x1+9x2+(2)x3=1[2]2x1+4x2+(2)x3=0[3]4x1+(5)x2+7x3=3 [1]3921[2]2420[3]4573
Äquivalenzumformung [1][2] [1][2]
transformiertes LGS [1]2x1+4x2+(2)x3=0[2]3x1+9x2+(2)x3=1[3]4x1+(5)x2+7x3=3 [1]2420[2]3921[3]4573
Äquivalenzumformung [1][1]1/2 [1][1]1/2
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x1+9x2+(2)x3=1[3]4x1+(5)x2+7x3=3 [1]1210[2]3921[3]4573
Äquivalenzumformung [2][2]+[1](3) [2][2]+[1](3)
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2+x3=1[3]4x1+(5)x2+7x3=3 [1]1210[2]0311[3]4573
Äquivalenzumformung [3][3]+[1]4 [3][3]+[1]4
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2+x3=1[3]3x2+3x3=3 [1]1210[2]0311[3]0333
Äquivalenzumformung [3][3]+[2](1) [3][3]+[2](1)
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2+x3=1[3]2x3=4 [1]1210[2]0311[3]0024

Auflösen einer Stufenform

Das zum vorgegebenen LGS äquivalente in Stufenform kann jetzt schrittweise nach den Variablen aufgelöst werden.

LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]12x2+4x3=4[3]2x3=4
[3] nach x3 auflösen x3=2
x3 in [2] einsetzen und [2] nach x2 auflösen x2=1
x2 und x3 in [1] einsetzen und [1] nach x1 auflösen x1=4
Lösung des LGS (x1;x2;x3)=(4;1;2)

Rückwärtsauflösen mit Äquivalenzumformungen

Das Rückwärtsauflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen. Das so erweiterte Umformungsverfahren wird dann Gauß-Jordan-Verfahren genannt.

GleichungenTabelle
LGS in Stufenform [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2+x3=1[3]2x3=4 [1]1210[2]0311[3]0024
Auflösen nach x3 [3][3]12 [3][3]12
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2+x3=1[3]x3=2 [1]1210[2]0311[3]0012
Einsetzen von x3 in [2] [2][2]+[3](1) [2][2]+[3](1)
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]3x2=3[3]x3=2 [1]1210[2]0303[3]0012
Auflösen nach x2 [2][2]13 [2][2]13
transformiertes LGS [1]x1+2x2+(1)x3=0[2]x2=1[3]x3=2 [1]1210[2]0101[3]0012
Einsetzen von x3 in [1] [1][1]+[3] [1][1]+[3]
transformiertes LGS [1]x1+2x2=2[2]x2=1[3]x3=2 [1]1202[2]0101[3]0012
Einsetzen von x2 in [1] [1][1]+[2](2) [1][1]+[2](2)
LGS in Diagonalform [1]x1=4[2]x2=1[3]x3=2 [1]1004[2]0101[3]0012

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