Übungen - Multiplikation von Matrizen

Aufgabe 1

Berechne die Matrixprodukte.

(a) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 3 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

(b) $\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

(c) $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

(d) $\begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(e) $\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$,

(a) Welche der folgenden Matrixprodukte kann man bilden: $A \cdot A$, $A \cdot B$, $A \cdot C$, $A \cdot D$? Berechne ggf. das Matrixprodukt.

(b) Gib selbst 3 weitere Matrixproduke an, die man nicht bilden kann.

(b) Gib selbst 3 weitere Matrixproduke an, die man bilden kann. Berechne auch die Matrixprodukte.

Aufgabe 3

(a) Bestimme die Werte der Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so dass gilt:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}$

(b) Bestimme die Werte der Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so dass gilt:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(c) Gibt es Werte der Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so dass gilt:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & c \\ d & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Aufgabe 4

X. hat das Rechnen mit Matrizen noch nicht ganz verstanden. X rechnet so:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$

Erläutere, was X richtig bzw. falsch macht.

Aufgabe 5

Ein Online-Fotolabor bietet Jahreskalender in verschiedenen Formaten und Druckvarianten an. Die Tabelle zeigt die jeweilgen Preise (in Euro).

	Format A4	Format A3	Format A2
Digitaldruck Matt	12	23	40
Digitaldruck Hochglanz	18	28	45

Eine Firma möchte für ihre Büros in den Niederlassungen Berlin, Hamburg, München und Köln Jahreskalender bestellen. Die Tabelle zeigt die beabsichtigten Kalenderanzahlen.

	B	HH	M	K
A4	12	8	5	20
A3	8	8	10	0
A2	2	0	1	4

Welche Kosten würden für die verschiedenen Niederlassungen durch die Bestellung ihrer Jahreskalender entstehen, wenn sie die Matt-Variante bzw. die Hochglanz-Variante wählen? Bestimme diese Kosten mit einem geeigneten Matrixprodukt.

Aufgabe 6

In dieser Aufgabe greifen wir folgende (Operator-) Sichtweise auf: Eine Matrix macht etwas mit einem Vektor, wenn man sie mit dem Vektor multipliziert.

(a) Ergänze die Einträge in der folgenden Tabelle. Kläre dabei insbesondere, was die jeweilige Matrix mit dem multiplizierten Vektor macht.

Matrix	Matrix mal Vektor	Was macht die Matrix mit dem Vektor?
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$A$: vertauschen ...
$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$B$: ...
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$A \cdot B$: erst ... , dann ...
$B \cdot A = \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} \dots & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$	$B \cdot A$: erst ... , dann ...

(b) Erläutere mit Hilfe der Ergebnisse in der Übersicht (auch inhaltlich), dass man beim Matrixprodukt die Reihenfolge der Matrizen beachten muss.

Aufgabe 7

Eine Supermarktkette mit drei Filialen (F1, F2 und F3) packt Osterpakete:

P1: ein Hase; fünf Nougateier; sechs bunte Hühnereier; drei geoldene Küken
P2: ein Hase; sieben Nougateier; zehn geoldene Küken
P3: ein Hase; drei Nougateier; drei bunte Hühnereier; drei geoldene Küken
P4: neun Nougateier; zehn bunte Hühnereier; acht geoldene Küken

Die Supermarktkette möchte folgende Anzahlen an Paketen erstellen:

	P1	P2	P3	P4
F1	40	50	100	20
F2	70	20	80	30
F3	30	10	90	30

Ein Hase kostet im Einkauf 1.40€, 50 Nougateier kosten 6€, zehn bunte Hühnereier 3.50€ und 100 goldene Küken 5€.

Berechne die Bestellmengen an Hasen, Nougateiern, bunten Hühnereiern und goldenen Küken sowie den Preis für die Filialen. Stelle die Berechnungen dabei übersichtlich mithilfe von Matrizen und Vektoren dar.