Beispiel – Schlafzeiten
Beschreibung der Situation
Im Laufe des Lebens verändern sich die Schlafzeiten bei Menschen. Untersuchungen haben folgende Werte ergeben:
-
A: Frühes Erwachsenenalter (19–29 Jahre)
Mittelwert: ca. $429$ Min.
Standardabweichung: ca $72$ Min. -
B: Mittlere Generation (30–54 Jahre)
Mittelwert: ca. $408$ Min.
Standardabweichung: ca $62$ Min. -
C: Ältere Generation (ab 55 Jahren)
Mittelwert: ca. $423$ Min.
Standardabweichung: ca $66$ Min.
Aufgabe 1
Vergleiche die Daten zu den Schlafzeiten. Gib Gründe für das unterschiedliche Schlafverhalten in den drei Gruppen an.
Aufgabe 2
Wenn man eine homogene Gruppe betrachtet (wie z.B. Personen im frühen Erwachsenenalter), dann sind die Schlafzeiten in etwa normalverteilt. Im Folgenden beschreibt die Zufallsgröße $X$ die Schlafzeit einer zufällig ausgewählten Person (aus einer betrachteten Gruppe). Man kann dann davon ausgehen, dass die Zufallsgröße $X$ normalverteilt ist mit den oben angegeben Werten als Parameter.
Skizziere die Graphen von Gauß-Funktionen zu den Schlafzeiten der beiden Gruppierungen A und B. Verdeutliche und erläutere dabei möglichst genau die Eigenschaften der beiden Gauß-Funktionen.
Aufgabe 3
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Gruppe A bzw. B bzw. C eine Schlafzeit von höchstens $6$ Stunden hat. Benutze einen Wahrscheinlichkeitsrechner.
Aufgabe 4
Eine Person gilt als Langschläfer(in)
, wenn sie zu den $10 \%$ der am längsten schlafenden Personen in der betrachteten Grauppe gehört.
Bestimme die jeweiligen Langschläferzeiten für die 3 Personengruppen.
Aufgabe 5
Betrachte die folgenden Personen mit ihren Schlafzeiten:
- Schlafzeit von Person A0 aus der Gruppe A: $537$ min
- Schlafzeit von Person B0 aus der Gruppe B: $501$ min
- Schlafzeit von Person C0 aus der Gruppe C: $522$ min
Welche Person hat die ungewöhnlichste
Schlafzeit in der jeweiligen Gruppe?
Bestimme hierzu den Abstand zum Erwartungswert in Standardabweichungen.
Aufgabe 6
Untersuchungen zur Public Health zeigen, dass soziale Privilegien oft mit stabileren, kontrollierbareren Lebensverhältnissen einhergehen, was sich direkt im Schlafverhalten widerspiegelt: Je höher der sozioökonomische Status, dest länger und stabiler ist das Schlafverhalten. Erläutere, warum das Normalverteilungsmodell in manchen Städten wenig geeignet ist, um das Schlafverhalten seiner Bevölkerung zu beschreiben.
