Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du die Gauß-Funktion benutzt, um die Verteilung von Körpergrößen junger Frauen und Männer bei einer Erhebung zu beschreiben. Hier geht es um die Frage, wann man die Gauß-Funktion zur Modellierung empirisch gewonnener Daten verwenden kann.
Empirische Daten mit der Gauß-Funktion modellieren
Betrachte noch einmal die folgende Problemsituation: Wie viele 18-jährige junge Frauen gibt es zur Zeit in Deutschland, die mindestens 1.65m und höchstens 1.72m groß sind? Das interessiert z.B. die Hersteller von Abi-Ballkleidern mit der Kleidergröße M für junge Frauen.
Aufgabe 1
Verdeutliche anhand der Beispielsituation die folgenden verallgemeinernden Aussagen:
- Die Gauß-Funktion wird benutzt, um die empirische Häufigkeitsverteilung näherungsweise zu modellieren. Die Gauß-Funktion dient hier als mathematisches Modell für die empirische Häufigkeitsverteilung. Man kann sie verwenden, um Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen.
- Im vorliegenden Kontext funktioniert das, weil das Histogramm zu den relativen Klassenhäufigkeiten eine Glockenform hat.
Beispiel: Körpergröße junger 18-jähriger Frauen
| Realität | Modell |
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Problem: Wie viele 18-jährige junge Frauen gibt es in etwa in Deutschland, die mindestens 1.65m und höchstens 1.72m groß sind? Erhebung von Daten: Mit einer Erhebung wird die Körpergröße bei $250$ jungen 18-jährigen Frauen bestimmt. Die Daten werden mit einem Histogramm (siehe Applet) grafisch dargestellt. |
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Datenmodellierung mit einer Gauß-Funktion: Das Histogramm zu den Daten der jungen Frauen hat eine Glockenform. Es lässt sich mit einer Gauß-Funktion mit den Parametern $\mu = 167$ und $\sigma = 6.7$ annähern. Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit: ZE: Eine junge 18-jähre Frau zufällig auswählen ZG $X$: Körpergröße der ausgewählten Frau Mit der Gauß-Funktion $\varphi_{167;6.7}$ erhält man: $P(160 \le X \le 172) \approx 0.39$. |
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Abschätzung einer absoluten Häufigkeit: In Deutschland gibt es zur Zeit ca. 410000 junge 18-jährige Frauen. Mit $P(160 \le X \le 172) \approx 0.39$ erhält man folgende Abschätzung der absoluten Häufigkeit $H$: $H \approx 0.39 \cdot 410000 = 159900$ |
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss2.ggb
Grenzen zur Modellierung mit Gauß-Funktionen aufzeigen
Beim 100m-Lauf wird neben der Laufzeit auch immer die Reaktionszeit gemessen. Eine Reaktionszeit unter $100$ ms gilt als nicht erreichbar und führt daher zu einem Fehlstart. Im folgenden Applet verdeutlicht das Histogramm die relativen Häufigkeiten der Reaktionszeiten aller 100-m-Läuferinnen bei der Weltmeisterschaft 2025. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: HistogrammReaktionszeiten.ggb
Aufgabe 2
(a) Probiere, das Histogramm mit einer Gauß-Funktion anzunähern.
(b)
Histogramme zu Reaktionszeiten sind in der Regel rechtsschief
. Erläutere, was das bedeutet. Stelle Vermutungen auf, warum das so ist.
(c) Mache dir anhand der betrachteten Erhebung klar, dass die Gauß-Funktion kein universelles Modell für „Daten mit einem Berg“ ist.
