Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir lösen uns hier von speziellen Kontexten und betrachten Bestandsänderungen bei beliebigen Bestandsentwicklungen.
Bestandsänderungen mathematisch erfassen
Wir gehen von folgender Situation aus: Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. eine Populationsgröße oder eine Datenmenge) zu. Die Funktion soll im gesamten betrachteten Bereich definiert sein.
Im folgenden Applet ist eine solche Situation dargestellt. Bearbeite die darunter aufgeführten Aufgaben.
Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate2.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte die im Applet voreingestellte Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:
$P(\,\textcolor{red}{2}\mid \textcolor{blueviolet}{0.83}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{4}\mid \textcolor{blueviolet}{2.82}\,)$
Kläre folgende Fragen (und kontrolliere die Ergebnisse mit den Kontrollkästchen im Applet).
- Wie groß war die Schrittweite $\Delta x$ (d.h. die Änderung des $x$-Werts) dabei?
- Um welchen Betrag $\Delta y$ hat sich der Bestandwert (d.h. der $y$-Wert) von $P$ nach $Q$ verändert?
- Wie groß ist die mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit?
- Warum muss man im aktuellen Fall von einer mittleren/durchschnittlichen Änderung sprechen?
(b) Betrachte eine Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:
$P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_0)}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_1)}\,)$
Gib Formeln zur Berechnung der folgenden Größen an.
- Schrittweite (d.h. die Änderung des $x$-Werts) von $P$ nach $Q$:
$\Delta x = \dots$ - Änderung des $y$-Werts von $P$ nach $Q$:
$\Delta y = \dots$ - mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit beim Übergang von $P$ nach $Q$:
$m(x_0,x_1) = \dots$
(c) Im Applet kann man die Gerade durch P und Q einblenden. Diese Gerade wird auch Sekante (zu Graph $f$) durch $P$ und $Q$ genannt. Was hat diese Gerade mit der der mittleren Änderungsrate zu tun? Stelle einen Zusammenhang her.
(d) Sichere deine Egebnisse im Wissensspeicher.
Zusammenhänge präzisieren
Oft interessiert nicht nur die gesamte Änderung eines Bestandes in einem Intervall, sondern die mittlere Änderung pro Schrittweite in diesem Intervall. Diese mittlere Änderung pro Schrittweite kann man auch als mittlere Änderungsgeschwindigkeit deuten. Wir führen einen Fachbegriff für diese Größe ein:
Mittlere Änderungsrate
Die Entwicklung eines Bestands werde im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ (mit $x_1 > x_0$) mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ beschreibt die Änderung des Bestandes pro Schrittweite in diesem Intervall. Man berechnet sie mit einem Differenzenquotienten:
$m(x_0, x_1) = \dots$
Die mittlere Änderungsrate lässt sich geometrisch deuten. Man betrachtet hierzu die Sekante durch die zum betrachteten Intervall gehörenden Punkte.
Geometrische Deutung der mittleren Änderungsrate
Die Entwicklung eines Bestands werde im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ (mit $x_1 > x_0$) mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die mittlere Änderungsrate $m(x_0,x_1) = \dfrac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$ entspricht geometrisch ...
Aufgabe 2
(a) Ergänze in der Definition zur mittleren Änderungsrate die Formel $m(x_0, x_1) = \dots$. Verwende dabei ggf. die passenden Farben. Nutze deine Ergebnisse von Aufgabe 1.
(b) Erkläre, warum man den Term aus Teilaufgabe (a) auch Differenzenquotient nennt.
(c) Ergänze auch den Satz zur Beschreibung der geometrischen Deutung der mittleren Änderungsrate.
(d) ✏️️ Sichere deine Egebnisse im Wissensspeicher. Ergänze auch Beispiele zur Berechnung von mittleren Änderungsraten bei einer vorgegebenen Funktion.
