Einstieg

Problemgewinnung

In den vorangehenden Kapiteln wurden Integrale in der Regel mit einem analytischen Verfahren berechnet: Um ein Integral zu bestimmen, sucht man eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion und bildet dann die Differenz der Stammfunktionswerte an den Integrationsgrenzen. Dieses analytische Verfahren setzt voraus, dass man die betrachtete Ausgangsfunktion aufleiten kann (d.h., dass man eine Funktion bilden kann, die abgeleitet die Ausgangsfunktion ergibt).

Es gibt Ausgangsfunktionen, bei denen man dieses analytische Verfahren zur Integralberechnung nicht anwenden kann. Es gibt durchaus Stammfunktionen zur Ausgangsfunktion, man kann sie aber nicht mit elementaren Basisfunktionen beschreiben. Zu diesen Funktionen gehört die Funktion $f$ mit $f(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2}$.

Integralberechnungen mit dieser Funktion spielen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es ergibt sich somit das Problem, wie man Integrale bei dieser Funktion ohne Verwendung einer Stammfunktion berechnen kann.

Aufgabe 1

Du hast in den bisherigen Kapitel zwei Strategien zur Integralberechnung kennen gelernt:

• Analytisches Verfahren: Man bestimmt ein Integral mit Hilfe einer Stammfunktion zur Ausgangsfunktion.
• Approximative Verfahren: Man bestimmt ein Integral mit Hilfe von Produktsummen.

(a) Skizziere, wie man das in der Abbildung verdeutlichte Integral mit Hilfe von Produktsummen bestimmen kann.

(b) Erläutere den wesentlichen Unterschied zwischen dem analytischen Verfahren mit Stammfunktionen und dem approximativen Verfahren mit Produktsummen.