Vertiefung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt geht es darum, die im letzten Abschnitt eingeführten Verfahren zur approximativen Integralberechnung zu automatisieren.
Das Rechteckverfahren automatisieren
Wir gehen nochmal vom Rechteckverfahren (mit Mittensummen) zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen aus. Dieses Verfahren wird im Applet verdeutlicht.
Zum Herunterladen: numerische-integration-rechtecke.ggb
In der Tabelle sind die Berechnungen zur Mittensumme $M_8$ (teilweise) dargestellt.
| Intervall | Beitrag zum Integral |
|---|---|
| $[-4; -3]$ | $1 \cdot f(-3.5)$ |
| $[-3; -2]$ | $1 \cdot f(-2.5)$ |
| ... | ... |
| $[3; 4]$ | $1 \cdot f(3.5)$ |
| $[-4; 4]$ | $1 \cdot f(-3.5) + 1 \cdot f(-2.5) + \dots + 1 \cdot f(3.5)$ |
Aufgabe 1
In der folgenden Übersicht wird das Berechnungsverfahren u.a. mit Berechnungsformeln beschrieben. Erkläre die Formeln.
Berechnung der Mittensummen
Eingaben
- $f$ (Funktionsgleichung)
- $a$, $b$ (Intervallgrenzen)
- $n$ (Anzahl der Teilintervalle)
Berechnungen
- $d = \frac{b-a}{n}$ (Länge der Teilintervalle bzw. Streifenbreite)
- $x_{i} = a + i \cdot d$; $i = 0, \dots, n$ (Teilintervallgrenzen)
- $h_{i} = f(\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_{i}))$; $i = 1, \dots, n$ (Höhen der Mittenrechtecke)
- $M_n = d \cdot h_{1} + \dots d \cdot h_{n}$ (Mittensumme)
Ausgabe
- $M_n$ (Mittensumme als Näherungswert zum Integral)
Aufgabe 2
Das Berechnungsverfahren lässt sich mit einem Computeralgebrasystem implementieren. Erläutere Schritt für Schritt die folgende Implementierung im GeoGebra-CAS.
Zum Herunterladen: numerische-integration-rechtecke-cas.ggb
Aufgabe 3
In der Implementierung zum Mittensummenverfahren kannst du jetzt die Eingabegrößen variieren. Probiere das selbst aus.
Das Trapezverfahren automatisieren
Im Applet wird das Trapezverfahren verdeutlicht.
Zum Herunterladen: numerische-integration-trapeze.ggb
In der Tabelle sind die Berechnungen zur Trapezsumme $T_8$ (teilweise) dargestellt.
| Intervall | Beitrag zum Integral |
|---|---|
| $[-4; -3]$ | $1 \cdot \frac{1}{2}(f(-4)+f(-3))$ |
| $[-3; -2]$ | $1 \cdot \frac{1}{2}(f(-3)+f(-2))$ |
| ... | ... |
| $[3; 4]$ | $1 \cdot \frac{1}{2}(f(3)+f(4))$ |
| $[-4; 4]$ | $1 \cdot \frac{1}{2}(f(-4)+f(-3)) + 1 \cdot \frac{1}{2}(f(-3)+f(-2)) + \dots + 1 \cdot \frac{1}{2}(f(3)+f(4))$ |
Aufgabe 4
Ergänze die Berechnungsformeln im Berechnungsverfahren zur Trapezsumme. Du kannst dich dabei an der Berechnungsformeln für die Mittensummen orientieren und sie teilweise auch übernehmen.
Berechnung der Mittensummen
Eingaben
- $f$ (Funktionsgleichung)
- $a$, $b$ (Intervallgrenzen)
- $n$ (Anzahl der Teilintervalle)
Berechnungen
- $d = \qquad\qquad$ (Länge der Teilintervalle bzw. Streifenbreite)
- $x_{i} = \qquad\qquad$; $i = 0, \dots, n$ (Teilintervallgrenzen)
- $h_{i} = \qquad\qquad$; $i = 1, \dots, n$ (mittlere Höhen der Trapeze)
- $T_n = \qquad\qquad$ (Trapezsumme)
Ausgabe
- $T_n$ (Trapezsumme als Näherungswert zum Integral)
Aufgabe 5
Implementiere das Berechnungsverfahren für die Trapezsummen im GeoGebra-CAS.
Aufgabe 6
Teste deine Implementierung zum Trapezverfahren.
