Erarbeitung

Das Rechteckverfahren beschreiben

Im Applet wird das Rechteckverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen verdeutlicht.

Anleitung zum Applet

• Im unteren Fenster kann man die Funktion und das betrachtete Intervall eigeben. Zusätzlich kann man mit dem Schieberegler [$n$] die Anzahl der betrachteten Teilintervalle festlegen. Angezeigt wird die Mittensumme $M_n$ als Approximation zum Integral, das berechnet werden soll.
• Im oberen Fenster werden die Zusammenhänge grafisch verdeutlicht. Mit den Kontrollkästchen kann man (alternativ) das Integral oder die Rechteckfigur zur Mittensumme einblenden. Mit dem Schieberegler [$i$] kann man das i-te Rechteck mit dem betreffenden Beitrag zur Mittensumme anzeigen.

Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: numerische-integration-rechtecke.ggb

Aufgabe 1

Erkläre zunächst das im Applet dargestellte Rechteckverfahren zur approximativen Integralberechnung in eigenen Worten.

Aufgabe 2

In der folgenden Tabelle werden die Berechnungen zur Mittensumme $M_8$ zum Integral $\int\limits_{-4}^{4} e^{-\frac{1}{x^2}} \; dx$ aufgelistet.

(a) Erkläre die bereits vorgegebenen Einträge in der ersten Zeile.

(b) Ergänze die noch fehlenden Einträge in der zweiten, dritten und vierten Zeile der Tabelle. Die Berechnungen musst du nicht selbst ausführen. Die Daten kannst du dir im Applet verschaffen.

(c) Gib in der letzten Zeile das Ergebnis (mit Rechnung) zur Abschätzung des Integrals an.

Intervall	Beitrag zum Integral
$[-4; -3]$	$1 \cdot f(-3.5) \approx 0.00219$
$[-3; -2]$
$[-2; -1]$
$[-1; 0]$
$[0; 1]$
$[1; 2]$
$[2; 3]$
$[3; 4]$
$[-4; 4]$

Das Trapezverfahren entwickeln

Wir ändern das Verfahren zur approximativen Berechnung von Integralen etwas ab. Im Applet wird das Trapezverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen verdeutlicht.

Anleitung zum Applet

• Im unteren Fenster kann man die Funktion und das betrachtete Intervall eigeben. Zusätzlich kann man mit dem Schieberegler [$n$] die Anzahl der betrachteten Teilintervalle festlegen. Angezeigt wird die Trapezsumme $T_n$ als Approximation zum Integral, das berechnet werden soll.
• Im oberen Fenster werden die Zusammenhänge grafisch verdeutlicht. Mit den Kontrollkästchen kann man (alternativ) das Integral oder die Trapezfigur einblenden. Mit dem Schieberegler [$i$] kann man das i-te Trapez mit dem betreffenden Beitrag zur Trapezsumme anzeigen.

Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: numerische-integration-trapeze.ggb

Aufgabe 3

Erkläre zunächst das im Applet dargestellte Trapezverfahren zur approximativen Integralberechnung in eigenen Worten. Erläutere dabei auch den Unterschied zum Rechteckverfahren.

Aufgabe 4

Verdeutliche anhand der Grafik die folgende Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Trapezen an einem Funktionsgraphen.

$A_T = d \cdot h = (b-a) \cdot \frac{1}{2}(f(a)+f(b))$

Aufgabe 2

In der folgenden Tabelle werden die Berechnungen zur Trapezsumme $T_8$ zum Integral $\int\limits_{-4}^{4} e^{-\frac{1}{x^2}} \; dx$ aufgelistet.

(a) Erkläre die bereits vorgegebenen Einträge in der ersten Zeile.

(b) Ergänze die noch fehlenden Einträge in der zweiten bis achten Zeile der Tabelle. Die Berechnungen musst du nicht selbst ausführen. Die Daten kannst du dir im Applet verschaffen.

(c) Gib in der letzten Zeile das Ergebnis (mit Rechnung) zur Abschätzung des Integrals an.

Intervall	Beitrag zum Integral
$[-4; -3]$	$1 \cdot \frac{1}{2}(f(-4)+f(-3)) \approx 0.00572$
$[-3; -2]$
$[-2; -1]$
$[-1; 0]$
$[0; 1]$
$[1; 2]$
$[2; 3]$
$[3; 4]$
$[-4; 4]$