Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns mit folgenden Fragestellungen: Worin unterscheiden sich die beiden Spielvarianten des Glücksspiels Chuck a Luck aus der Sicht von Spieler: Welche Variante ist für Spieler:innen günstiger, welche interessanter? Wie kann man das mathematisch beschreiben?

Erwartungswerte vergleichen

Wir gehen von den Spielregeln der beiden Varianten des Glücksspiels Chuck a Luck aus.

Chuck a Luck – Normalvariante	Chuck a Luck – Risikovariante
Lege eine Münze auf eine Zahl des Spielbretts. Wirf die drei Würfel. Zähle, wie oft deine Zahl gewürfelt wurde. 0 Treffer: Münze ist verloren 1 Treffer: Münze zurück + 1 Münze 2 Treffer: Münze zurück + 2 Münzen 3 Treffer: Münze zurück + 3 Münzen	Lege eine Münze auf eine Zahl des Spielbretts. Wirf die drei Würfel. Zähle, wie oft deine Zahl gewürfelt wurde. 0 Treffer: Münze ist verloren 1 Treffer: Münze zurück 2 Treffer: Münze zurück 3 Treffer: Münze zurück + 108 Münzen

Um die Gewinnchancen der beiden Spielvarianten vergleichen zu können beschreiben wir den Gewinn bei einer Spielrunde mit Hilfe von Zufallsgrößen.

Aufgabe 1

(a) Erläutere zunächst die Einträge in der folgenden Übersicht zur Normalvariante von Chuck a Luck.

(b) Ergänze und erkläre die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ zur Risikovariante von Chuck a Luck.

(c) Bestimme den Erwartungswert von $X$ zur Risikovariante von Chuck a Luck. Was fällt auf? Deute das Ergebnis.

Chuck a Luck – Normalvariante	Chuck a Luck – Risikovariante
Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu.	Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu.
Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $a$ $-1$ $1$ $2$ $3$ $P(X = a)$ $\displaystyle{\frac{125}{216}}$ $\displaystyle{\frac{75}{216}}$ $\displaystyle{\frac{15}{216}}$ $\displaystyle{\frac{1}{216}}$	Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $a$ $-1$ $0$ $108$ $P(X = a)$
Erwartungswert von $X$: $\begin{array}{lcl} E(X) & = & \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{75}{216}}_{P(X = 1)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{15}{216}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 3)} \cdot 3 \\ & = & \displaystyle{-\frac{17}{216}} \\ & \approx & -0.08 \end{array}$	Erwartungswert von $X$: $\begin{array}{lcl} E(X) & = & \end{array}$