Vertiefung – Berechnung der Varianz
Zur Orientierung
Die Berechnung der Varianz einer Zufallsgröße ist recht aufwendig. Hier geht es darum, das Berechnungsverfahren etwas zu vereinfachen.
Eine Formel herleiten
Betrachte eine Zufallsgröße $X$ mit den Werten $a_1, \dots, a_k$. In der folgenden Heleitung verwenden wir die Summendarstellung mit dem $\Sigma$-Symbol:
$\mu = E(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i$
$V(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot (a_i - \mu)^2$
Die Formel für die Varianz der Zufallsgröße $X$ lässt sich folgendermaßen umformen:
$\begin{array}{lcll} V(X) & = & \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot (a_i - \mu)^2 & (1) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot (a_i^2 - 2a_i\mu + \mu^2) & (2) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i^2 - 2\mu \cdot \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i + \mu^2 \cdot \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) & (3) \\ & = & E(X^2) - 2\mu \cdot \mu + \mu^2 \cdot 1 & (4) \\ & = & E(X^2) - \mu^2 & (5) \end{array}$
Es gilt also folgender Zusammenhang:
Betrachte die Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment mit dem Erwartungswert $\mu = E(X)$. Für die Varianz von $X$ gilt dann:
$V(X) = E(X^2) - \mu^2 = E(X^2) - (E(X))^2$
Aufgabe 1
Erkläre sämtliche (durchnummerierten) Schritte in der Umformung oben. Ergänze hierzu die folgende Auflistung.
- 1: Hier wird die Definition der Varianz benutzt.
- 2:
- 3:
- 4:
- 5:
Die Formel verwenden
Zur Verdeutlichung der Berechnung von Varianzen mit der neuen Formel betrachten wir noch einmal die beiden Chuck-a-Luck-Varianten. Bearbeite die Aufgabe unterhalb der folgenden Übersicht.
| Chuck a Luck – Normalvariante | Chuck a Luck – Risikovariante |
|---|---|
|
Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu. |
Zufallsgröße $X$: $X$ ordnet der Anzahl der richtig getippten Würfelergebnisse den Gewinn zu. |
| Erweiterte Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $\begin{array}{l|ccccc} a & -1 & 1 & 2 & 3 & \Sigma\\ \hline P(X=a) & \frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{15}{216} & \frac{1}{216} & 1\\ \hline P(X=a) \cdot a & -\frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{30}{216} & \frac{3}{216} & -\frac{17}{216}\\ \hline P(X=a) \cdot a^2 & \frac{125}{216} & \frac{75}{216} & \frac{60}{216} & \frac{9}{216} & \frac{269}{216} \end{array}$ | Erweiterte Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $\begin{array}{l|cccc} a & -1 & 0 & 108 & \Sigma\\ \hline P(X=a) & \frac{125}{216} & \frac{90}{216} & \frac{1}{216} & 1 \\ \hline P(X=a) \cdot a & & & & \\ \hline P(X=a) \cdot a^2 & & & & \end{array}$ |
|
Erwartungswert von $X$: $E(X) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i = -\frac{17}{216} \approx -0.08$ |
Erwartungswert von $X$: $E(X) = $ |
|
Erwartungswert von $X^2$: $E(X^2) = \sum\limits_{i=1}^{k} P(X = a_i) \cdot a_i^2 = \frac{269}{216}$ |
Erwartungswert von $X^2$: $E(X^2) = $ |
|
Varianz von $X$: $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{269}{216} - \left( -\frac{17}{216} \right)^2 = \frac{57815}{46656} \approx 1.24$ |
Varianz von $X$: $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = $ |
|
Standardabweichung von $X$: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 1.11$ |
Standardabweichung von $X$: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx $ |
Aufgabe 2
(a) Erkläre die Berechnungen zur Normalvariante von Chuck a Luck in der linken Spalte der Tabelle.
(b) Ergänze die Berechnungen zur Risikovariante von Chuck a Luck in der rechten Spalte der Tabelle.
(c) Deute die Ergebnisse.
