Erarbeitung – Streuung bei Häufigkeitsverteilungen
Eine Datenerhebung untersuchen
Wir gehen von folgender Situation aus: Vier Personen führen 10-mal etwas Schwieriges vor (z.B. ein kompliziertes Musikstück, einen Sprung vom 3-Meter-Brett, ...). Die Vorführungen werden mit Punkten bewertet – von 0 Punkte (ganz schlecht) bis 5 Punke (sehr gut). Hier die Ergebnisse der Bewertungen der Personen A, B, C und D.
Bewertungen der Personen A, B, C, D:
A: 3, 2, 3, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 4
B: 2, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 2, 4
C: 2, 3, 4, 1, 3, 3, 1, 5, 5, 3
D: 0, 2, 1, 1, 5, 1, 5, 5, 5, 5
In den folgenden Aufgaben geht es darum, die bewerteten Leistungen zu vergleichen.
Aufgabe 1
Berechne für die vier Personen den Mittelwert $\overline{x}$ der zehn Bewertungen. Was fällt auf?
Aufgabe 2
Im folgenden Applet werden die Häufigkeitsverteilungen der Bewertungen mit Histogrammen dargestellt. Erläutere, wie die Histogramme mit den Auflistungen der Bewertungen zusammenhängen.
Zum Herunterladen: bewertungen2.ggb
Aufgabe 3
Vergleiche bei den vier Personen die Streuung der Bewertungen um den Mittelwert. Kannst du die vier Häufigkeitsverteilungen hinsichtlich der Streuung um den Mittelwert in eine Reihenfolge bringen – von streut am wenigsten bis streut am meisten? Erläutere die Schwierigkeit, die hierbei auftritt.
Streumaße festlegen
Streumaße dienen dazu, die Abweichungen der Daten vom Mittelwert der Daten präzise zu erfassen. In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Streumaße entwickelt. Wir verdeutlichen sie anhand der Bewertungen von Person C:
C: 2, 3, 4, 1, 3, 3, 1, 5, 5, 3
Aufgabe 5
(a)
In der folgenden Tabelle werden verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die Abweichungen vom Mittelwert $\overline{x} = 3$
rechnerisch bestimmen kann. Erkläre, wie die bereits vorgegebenen Tabelleneinträge gebildet werden.
Ergänze die noch fehlenden Einträge.
Beachte, dass das Symbol $\Sigma$ für Summe
steht.
| $x_i$ Bewertungen |
$|x_i - \overline{x}|$ lineare Abweichung |
$(x_i - \overline{x})^2$ quadratische Abweichung |
|---|---|---|
| $2$ | $1$ | $1$ |
| $3$ | $0$ | $0$ |
| $4$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $2$ | $4$ |
| $3$ | ||
| $3$ | ||
| $1$ | ||
| $5$ | ||
| $5$ | ||
| $3$ | ||
| $\Sigma: 10$ | $\Sigma: $ |
(b) Mit Hilfe der Ergebnisse aus der Tabelle kann man (für Person C) die Streuung der Bewertungen um den Mittelwert wie folgt beschreiben.
- Mittlere lineare Abweichung: $1$
- Mittlere quadratische Abweichung: $1.8$
- Standardabweichung: $\sqrt{1.8} \approx 1.34$
Erkläre, wie diese Streumaße zustande kommen.
(c) Die linearen und quadratischen Abweichungen kann man auch aus einer Häufigkeitsverteilung bestimmen. Ergänze die Einträge in der folgenden Tabelle und erkläre, wie man bei der Berechnung vorgeht.
| $a$ Bewertungsmöglickeit |
$H(a)$ Häufigkeit |
$H(a) \cdot |a - \overline{x}|$ lineare Abweichung |
$H(a) \cdot (a - \overline{x})^2$ quadratische Abweichung |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0 \cdot 3 = 0$ | $0 \cdot 9 = 0$ |
| $1$ | $2$ | $2 \cdot 2 = 4$ | $2 \cdot 4 = 8$ |
| $2$ | $1$ | $1 \cdot 1 = 1$ | $1 \cdot 1 = 1$ |
| $3$ | $4$ | ||
| $4$ | $1$ | ||
| $5$ | $2$ | ||
| $\Sigma: 10$ | $\Sigma: 18$ |
Aufgabe 6
(a) Berechne analog für die Personen A, B und D die Streumaße und trage sie in die folgende Tabelle ein.
| A | B | C | D |
|
Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 0&0&3&4&3&0 \end{array}$ |
Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 0&0&5&0&5&0 \end{array}$ |
Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 0&2&1&4&1&2 \end{array}$ |
Häufigkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2&3&4&5\\ \hline \text{H(a)} & 1&3&1&0&0&5 \end{array}$ |
|
Mittelwert: $3$ |
Mittelwert: $3$ |
Mittelwert: $3$ |
Mittelwert: $3$ |
|
mittl. lineare Abweichung: |
mittl. lineare Abweichung: |
mittl. lineare Abweichung: $1$ |
mittl. lineare Abweichung: |
|
mittl. quadr. Abweichung: |
mittl. quadr. Abweichung: |
mittl. quadr. Abweichung: $1.8$ |
mittl. quadr. Abweichung: |
|
Standardabweichung: |
Standardabweichung: |
Standardabweichung: $1.34$ |
Standardabweichung: |
(b) Vergleiche die Ergebnisse in der Tabelle. Kannst du die vier Häufigkeitsverteilungen hinsichtlich der Streuung um den Mittelwert jetzt in eine Reihenfolge bringen – von streut am wenigsten bis streut am meisten? Erläutere, warum die mittlere quadratische Abweichung und die Standardabweichung hierzu geeigneter sind als die mittlere lineare Abweichung.
Ergebnisse sichern
Wir verallgemeinern die Untersuchungen zur Streung um den Mittelwert und führen hierzu die folgenden Fachbegriffe ein.
Betrachte eine Datenreihe $x_1, \dots , x_n$ mit dem Mittelwert $\overline{x}$.
Die mittlere quadratische Abweichung der Daten vom Mittelwert erhält man so:
$\overline{v} = \frac{1}{n} \left( (x_1-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2 \right)$
Man nennt diese mittlere quadratische Abweichung auch (empirische) Varianz der Datenreihe.
Die (empirische) Standardabweichung der Daten vom Mittelwert ist die Wurzel aus der Varianz.
$\overline{s} = \sqrt{\overline{v}}$
Mit dem Zusatz empirisch
wird beschrieben, dass die Streumaße aus konkreten Daten einer Datenreihe berechnet werden.
Man verzichtet oft auf diesen Zusatz, wenn das aus dem Zusammenhang klar ist.
In der Praxis verwendet man meist die (empirische) Standardabweichung, weil sie dieselbe Maßeinheit wie die betrachtete Ausgangsgröße hat.
Wie in den Beispielen oben gezeigt, lassen sich die Streumaße direkt aus einer (absoluten) Häufigkeitstabelle bestimmen.
Betrachte die Situation, dass die Datenreihe $x_1, \dots , x_n$ mit dem Mittelwert $\overline{x}$ mit einer absoluten Häufigkeitsverteilung beschrieben ist.
$\begin{array}{l|ccccccccccc} a & a_1& \dots & a_k\\ \hline H(a) & H(a_1)& \dots& H(a_k) \end{array}$
Die Werte $a_1, \dots a_k$ sind die in der Datenreihe vorkommenden Zahlenwerte. Die absoluten Häufigkeiten dieser Zahlenwerte beschreiben wir mit $H(a_1), \dots, H(a_k)$.
Dann berechnet man die Varianz bzw. mittlere quadratische Abweichung so:
$\overline{v} = \frac{1}{n} \left( H(a_1) \cdot (a_1-\overline{x})^2 + \dots + H(a_k) \cdot (a_k-\overline{x})^2 \right)$
Aufgabe 7
(a) Verdeutliche das Berechnungsverfahren am Beispiel oben.
(b) Verdeutliche ebenfalls am Beispiel oben, dass man die Streumaße auch mit relativen Häufigkeiten berechnen kann.
Betrachte die Situation, dass die Datenreihe $x_1, \dots , x_n$ mit dem Mittelwert $\overline{x}$ mit einer relativen Häufigkeitsverteilung beschrieben ist.
$\begin{array}{l|ccccccccccc} a & a_1& \dots & a_k\\ \hline h(a) & h(a_1)& \dots& h(a_k) \end{array}$
Die Werte $a_1, \dots a_k$ sind die in der Datenreihe vorkommenden Zahlenwerte. Die relativen Häufigkeiten dieser Zahlenwerte beschreiben wir mit $h(a_1), \dots, h(a_k)$.
Dann berechnet man die Varianz bzw. mittlere quadratische Abweichung so:
$\overline{v} = h(a_1) \cdot (a_1-\overline{x})^2 + \dots + h(a_k) \cdot (a_k-\overline{x})^2 $
