Erarbeitung – Streuung bei Zufallsgrößen
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurden die (empirische) Varianz und (empirische) Standardabweichung als Kennzahlen zur Charakterisierung der Streung der Datenwerte um den Mittelwert bei einer Datenreihe eingeführt. In diesem Abschnitt geht es darum, diese Kennzahlen auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen zu übertragen.
Streuung bei Glücksrädern untersuchen
Wir gehen von folgender Situation aus: Du hast dir einen kleinen Preis verdient. Den genauen Betrag liefert dir ein Glücksrad. Es stehen dabei vier Glücksräder A, B, C und D zur Verfügung. Du kannst dir eines aussuchen und dann das Glücksrad in Bewegung setzen.
Im folgenden Applet wird das simuliert. Mit den Kontrollkästchen [Neustart] kannst du jeweils das gewählte Glücksrad starten. Probiere es selbst aus. Beachte, dass das Glücksrad bei einem [Neustart] auch wieder denselben Betrag anzeigen kann.
Zum Herunterladen: gluecksrad1.ggb
Du möchtest das Glückrad natürlich möglichst günstig auswählen. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, das mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten vorzunehmen. Wir gehen dabei davon aus, dass der mit dem Glücksrad erzielbare Betrag mit der Zufallsgröße $X$ erfasst wird. In der folgenden Tabelle werden die Ergebnisse der Untersuchungen zudsammengefasst. Bearbeite die Aufgaben unterhalb der Tabelle.
A
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B
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C
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D
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Wahrscheinlichkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 2&3&4\\ \hline \text{P(X=a)} & 0.3 & 0.4 & 0.3 \end{array}$ |
Wahrscheinlichkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 2&4\\ \hline \text{P(X=a)} & & \end{array}$ |
Wahrscheinlichkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 1&2&3&4&5\\ \hline \text{P(X=a)} & & & & & \end{array}$ |
Wahrscheinlichkeitsverteilung: $\begin{array}{l|ccccccccccc} \text{a} & 0&1&2 & 5\\ \hline \text{P(X=a)} & & & & \end{array}$ |
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(erwarteter Mittelwert) Erwartungswert: $E(X) = 3$ |
(erwarteter Mittelwert)
Erwartungswert: |
(erwarteter Mittelwert)
Erwartungswert: |
(erwarteter Mittelwert)
Erwartungswert: |
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(erwartete) Varianz: $V(X) = $ |
(erwartete) Varianz: |
(erwartete) Varianz: |
(erwartete) Varianz: |
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(erwartete) Standardabweichung: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = $ |
(erwartete) Standardabweichung: |
(erwartete) Standardabweichung: |
(erwartete) Standardabweichung: |
Aufgabe 1
Ergänze die noch fehlenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgröße $X$ für die Glücksräder B, C und D.
Aufgabe 2
(a) Zeige, dass man für das Glücksrad A den Erwartungswert $E(X) = 3$ erhält.
(b) Berechne den Erwartungswert $E(X)$ auch für die Glücksräder B, C und D. Was fällt auf?
(c)
Deute das Ergebnis aus Teilaufgabe (b):
Auf lange Sicht ...
Aufgabe 3
(a) Erkläre mit Hilfe der folgenden Abbildung, wie man vom (empirischen) Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung zum Erwartungswert einer Zufallsgröße gelangt.
$\begin{array}{cccccccccccccc} \overline{x} & = & h(a_1) & \cdot & a_1 & + & \dots & + & h(a_k) & \cdot & a_k \\ \downarrow & & \downarrow & & & & & & \downarrow & &\\ E(X) & = & P(X=a_1) & \cdot & a_1 & + & \dots & + & P(X=a_k) & \cdot & a_k \end{array}$
(b) Übertrage die Überlegungen auf die Streuungmaße. Erläutere mit Hilfe der folgenden Abbildung, wie man von der (empirischen) Varianz einer Häufigkeitsverteilung zur Varianz einer Zufallsgröße gelangt.
$\begin{array}{cccccccccccccc} \overline{v} & = & h(a_1) & \cdot & (a_1 - \overline{x})^2 & + & \dots & + & h(a_k) & \cdot & (a_k - \overline{x})^2 \\ \downarrow & & \downarrow & & & & & & \downarrow & \\ V(X) & = & P(X=a_1) & \cdot & (a_1 - E(X))^2 & + & \dots & + & P(X=a_k) & \cdot & (a_k - E(X))^2 \end{array}$
Aufgabe 4
(a) Berechne mit der Formel aus Aufgabe 3 die Varianz der Zufallsgröße $X$ für die vier Glücksräder. Bestimme mit $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ auch die entsprechenden Standardabweichungen.
(b)
Deute die Ergebnisse aus Teilaufgabe (a):
Auf lange Sicht ...
Aufgabe 5
Überprüfe die Ergebnisse aus Aufgabe 4 mit folgendem Applet. Erläutere dabei auch den Zusammenhang zwischen Streumaßen zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und empirischen Streumaßen für konkrete Durchführungen des zu Grunde liegenden Zufallsexperiments.
Zum Herunterladen: gluecksrad2.ggb
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In den Aufgaben wurden bereits die Begriffe Varianz und Standardabweichung auf Zufallsgrößen übertragen. Hier noch einmal die zugehörigen Begriffsdefinitionen:
Betrachte die Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment mit den Werten $a_1, \dots, a_k$ und dem Erwartungswert $\mu = E(X)$.
Die Varianz der Zufallsgröße X erhält man so:
$V(X) = P(X=a_1) \cdot (a_1 - \mu)^2 + \dots + P(X=a_k) \cdot (a_k - \mu)^2$
Aus der Varianz von X lässt sich dann direkt die Standardabweichung von X berechnen:
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Die Varianz $V(X)$ und die Standardabweichung $\sigma(X)$ beschreiben, wie stark die Werte der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert $\mu = E(X)$ streuen. Sie liefern damit Prognosewerte für die erwartete (empirische) Varianz und die erwartete (empirische) Standardabweichung der mit $X$ erfassten Größe bei einer wiederholten Durchführung des zu Grund liegenden Zufallsexperiments.
