Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel im Folgenden ist es, momentane Änderungsraten an kritischen
Stellen zu betrachten.
Ein Beispiel genauer analysieren
Betrachte noch einmal den im Applet simulierten Downloadprozess.
Zum Herunterladen: download7.ggb
Die Besonderheit dieses Dowmloadprozesses spiegelt sich im Knick
der Downloadfunktion wider.
An diesem kritischen Knickpunkt
ändert sich das Downloadverhalten schlagartig.
Wir untersuchen das Downloadverhalten an diesem kritischen Knickpunkt
genauer mit dem Funktionenmikroskop.
Im folgenden Applet ist die Downloadfunktion $f$ und die kritische
Stelle $x_0$ bereits voreingestellt.
Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop_download.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte zunächst den Fall, dass der Punkt Q sich von links dem kritischen Punkt P annähert. Das bedeutet, dass $h \rightarrow 0$ mit $h \text{ < } 0$ gilt. Aktiviere hierzu zunächst die Schaltfläche [h = -1] und danach mehrfach die Schaltfläche [h verkleinern]. Beobachte, wie sich die Sekanten und deren Steigungen bei diesem Annäherungsprozess verhalten. Beschreibe deine Beobachtung.
Annäherung von links
Bei der vorgegebenen Funktion $f$ und der betrachteten Stelle $x_0$ gilt:
Für $h \rightarrow 0$ mit $h \text{ < } 0$ gilt: $m(x_0,x_0+h) \rightarrow \dots$.
(b) Betrachte anschließend den Fall, dass der Punkt Q sich von rechts dem kritischen Punkt P annähert. Das bedeutet, dass $h \rightarrow 0$ mit $h > 0$ gilt. Aktiviere hierzu zunächst die Schaltfläche [h = 1] und danach mehrfach die Schaltfläche [h verkleinern]. Beobachte, wie sich die Sekanten und deren Steigungen bei diesem Annäherungsprozess verhalten. Beschreibe deine Beobachtung.
Annäherung von rechts
Bei der vorgegebenen Funktion $f$ und der betrachteten Stelle $x_0$ gilt:
Für $h \rightarrow 0$ mit $h > 0$ gilt: $m(x_0,x_0+h) \rightarrow \dots$.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [$f'(x_0)$]. Erkläre, warum die Anzeige $f'(x_0) = ?$ hier sinnvoll ist.
Einen neuen Begriff einführen
Ein Knick
im Funktionsgraph führt dazu, dass man die Steigung der Funktion in diesem Punkt – und somit auch die Ableitung
an der zugehörigen Stelle – nicht bestimmen kann. Wir führen jetzt einen Begriff ein, um solche problematischen Stellen auszuschließen.
Differenzierbarkeit einer Funktion (an einer Stelle)
Eine Funktion $f$ ist differenzierbar an der Stelle $x_0$ aus der Definitionsmenge von $f$ genau dann, wenn der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$ der mittleren Änderungsraten existiert.
Eine Funktion $f$ ist differenzierbar genau dann, wenn sie an jeder Stelle aus ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist.
Die Existenz eines Grenzwerts bedeutet, dass die Sekantensteigungen für beliebige Annäherungen $h \rightarrow 0$ immer zu demselben Wert führen.
Ein Knick
im Funktionsgraphen gehört also immer zu einer Stelle, an der die Funktion nicht differenzierbar ist.
Beachte: Nur wenn die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist, kann man die Ableitung $f'(x_0)$ bilden:
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$
Differenzierbarkeit an einer Stelle ist also immer die Grundvoraussetzung dafür, die Ableitung an dieser Stelle zu bilden.
Wichtige Info
Wir setzen in den weiteren Kapiteln immer die Differenzierbarkeit der betrachteten Funktion voraus, wenn wir ihre Ableitungen bilden.
