Vertiefung
Zur Orientierung
Ziel ist es weiterhin, momentane Änderungsraten an kritischen
Stellen zu betrachten.
Eine zusammgesetzte Funktion analysieren
Der Downloadprozess wird jetzt mit folgender Funktion beschrieben:
$f(x) = \begin{cases} 0.125 x^2 & \text{wenn } 0 \leq x \leq 4 \\ (x-4)+2 & \text{wenn } 4 \text{ < } x \leq 12 \end{cases}$
Auch bei dieser Downloadfunktion gibt es eine kritische
Stelle. Zum Zeitpunkt $x_0 = 4$ ändert sich das Verhalten
des Downloadprozesses. Vor dem kritischen Zeitpunkt wächst die heruntergeladene Datenmenge quadratisch, danach linear.
Aufgabe 1
Verwnde das folgende Applet, um den beschriebenen Dawnloadprozess an der kritischen Stelle zu untersuchen. Die Downloadfunktion ist im bereits vorgegeben. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop_download2.ggb
(a) Betrachte zunächst den Fall, dass der Punkt Q sich von links dem kritischen Punkt P annähert. Das bedeutet, dass $h \rightarrow 0$ mit $h \text{ < } 0$ gilt. Aktiviere hierzu zunächst die Schaltfläche [h = -1] und danach mehrfach die Schaltfläche [h verkleinern]. Beobachte, wie sich die Sekanten und deren Steigungen bei diesem Annäherungsprozess verhalten. Beschreibe deine Beobachtung.
Annäherung von links
Bei der vorgegebenen Funktion $f$ und der betrachteten Stelle $x_0$ gilt:
Für $h \rightarrow 0$ mit $h \text{ < } 0$ gilt: $m(x_0,x_0+h) \rightarrow \dots$.
(b) Betrachte anschließend den Fall, dass der Punkt Q sich von rechts dem kritischen Punkt P annähert. Das bedeutet, dass $h \rightarrow 0$ mit $h > 0$ gilt. Aktiviere hierzu zunächst die Schaltfläche [h = 1] und danach mehrfach die Schaltfläche [h verkleinern]. Beobachte, wie sich die Sekanten und deren Steigungen bei diesem Annäherungsprozess verhalten. Beschreibe deine Beobachtung.
Annäherung von rechts
Bei der vorgegebenen Funktion $f$ und der betrachteten Stelle $x_0$ gilt:
Für $h \rightarrow 0$ mit $h > 0$ gilt: $m(x_0,x_0+h) \rightarrow \dots$.
(c) Was soll bei der Aktivierund das Kontrollkästchen [$f'(x_0)$] erscheinen? Mache einen Vorschlag und überprüfe, ob er mit dem Ergebnis im Applet übereinstimmt.
