Exkurs – Wurzel-n-Trichter

Aufgabe 3 (Erarbeitung)

(a) Ein Standardwürfel wird 500-mal geworfen. Wie oft fallen die Augenzahlen 1, ... , 6 voraussichtlich? Erstelle eine erste Prognose für diese Würfelserie.

(b) Eine bessere Prognose können wir erhalten, wenn wir die Formel für die Zufallsschwankungen bei einem Standardwürfel berücksichtigen:

$$\underbrace{\dfrac{1}{6} - \dfrac{0.75}{\sqrt{n}} \quad \leq \quad h(e) \quad\leq \quad\dfrac{1}{6} + \dfrac{0.75}{\sqrt{n}}}_{\text{nach \(n\) Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$$

Benutze den Wert $n = 500$, um Intervalle für die erwartete relative Häufigkeit nach 500 Versuchen anzugeben. Gib zusätzlich Intervalle für die prognostizierten absoluten Häufigkeiten an.

(c) Überprüfe deine Prognose mit dem folgenden Geogebra-Applet.

Zum Herunterladen: wuerfelnSW.ggb

Aufgabe 4 (Sicherung)

🖊️ Trage dir das Vorgehen im Wissensspeicher ein.

Aufgabe 5 (Vertiefung)

Für einen Pyramidenwürfel sind die Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen folgendermaßen geschätzt worden:

(a) Der Pyramidenwürfel wird 100-mal geworfen. Wie oft fallen die Augenzahlen 1, ..., 6 voraussichtlich? Erstelle eine erste Prognose für diese Würfelserie.

Erste Prognose:

(b) Für eine verfeinerte Prognose kann die folgende Formel für die Zufallsschwankungen benutzt werden. Die Herleitung dieser Formel, wird im Kapitel Schätzen von Häufigkeiten dargelegt.

$$\underbrace{p - \frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n}} \quad \leq \quad h(e) \quad \leq \quad p + \frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n}}}_{\text{nach \(n\) Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$$

Benutze den Wert $n = 100$ und für $p$ die entsprechende Wahrscheinlichkeit, um Intervalle für die erwartete relative Häufigkeit nach 100 Versuchen anzugeben. Gib zusätzlich Intervalle für die prognostizierten absoluten Häufigkeiten an. Die folgende Tabelle enthält bereits ein Kontrollergebnis.

Verfeinerte Prognose:

(c) Überprüfe deine Prognose mit dem oben gegebenen Geogebra-Applet.

② Additum: Zufallsschwankungen eingrenzen

Im folgenden GeoGebra-Applet ist die Simulation so eingestellt, dass immer wieder neue Würfelserien mit der voreingestellten Gesamtzahl der Würfe durchgeführt werden.

Zum Herunterladen: empirischesGesetzSWmitTrichter.ggb

Aufgabe 4

(a) Stelle die maximale Anzahl der Würfe auf einen festen Wert - z.B. 100 - ein. Simuliere mit Neustart und Start mehrere Würfelserien und beobachte die Entwicklung der relativen Häufigkeiten.

(b) Blende jetzt den „Trichter“ ein. Es werden zwei Graphen angezeigt, die die Gerade wie eine Art Trichter einschließen. Mit diesem Trichter kann der Abstand von relativen Häufigkeiten zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{6} \approx 0.17$ kontrolliert werden. Beschreibe, wie der Trichter den Graphen zu den relativen Häufigkeiten eingrenzt.

(c) Stelle probeweise die Gesamtanzahl der Würfe auf einen großen Wert ein - z.B. 1000. Beobachte, wie der Trichter den Abstand zur voreingestellten Wahrscheinlichkeit verringert.

(d) Mit dem Trichter kann abgeschätzt werden, wie weit die relative Häufigkeit bei einer Versuchsreihe von der erwarteten Wahrscheinlichkeit entfernt sein kann.

$\underbrace{\frac{1}{6} - \frac{0.75}{\sqrt{n}} \leq h(e) \leq \frac{1}{6} + \frac{0.75}{\sqrt{n}}}_{\text{nach \(n\) Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$

Diese Abschätzung ist kompliziert. Sie besagt, dass die relative Häufigkeit fast immer einen maximalen Abstand von $\frac{0.75}{\sqrt{n}}$ zur erwarteten Wahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{6}$ eines Ergebnisses beim Würfelwurf hat.

Für $n = 100$ heißt das:

• Die realive Häufigkeit $h(e)$ für ein Würfelergebnis $e$ kann bei einer Würfelserie von $n = 100$ Versuchen die Werte $\frac{0}{100} = 0$, $\frac{1}{100} = 0.01$, $\frac{2}{100} = 0.02$, ..., $\frac{100}{100} = 1$ annehmen.
• Die Werte $\frac{0}{100} = 0$ und $\frac{100}{100} = 1$ sind zwar möglich, aber sehr sehr unwahrscheinlich. In der Praxis kommen sie daher so gut wie nie vor. Auch andere Werte sind sehr unwahrscheinlich.
• Die Werte der relativen Häufigkeit, die nach einer Würfelserie mit $n = 100$ in der Praxis (in 95% aller Fälle) vorkommen, liegen im Intervall $\frac{1}{6} - \frac{0.75}{\sqrt{100}} \leq h(e) \leq \frac{1}{6} + \frac{0.75}{\sqrt{100}}$.
• Dieses Intervall lässt sich durch Ausrechnen auch so angeben:
  $\underbrace{0.09 \leq h(e) \leq 0.24}_{\text{nach 100 Versuchen in ca. 95% aller Versuchsreihen}}$.

(1) Fertige eine entsprechende Abschätzung für $n = 400$ an.

(2) Begründe: Wenn die Länge $n$ der Versuchsreihe vervierfacht wird, dann halbiert sich der maximale Abstand.

(3) Der maximale Abstand soll $0.01$ betragen. Wie groß muss $n$ für diesen Abstand gewählt werden? Bestimme $n$.