Vertiefung
Die Würfel untersuchen
Unser Ziel
Um die Chancen der Augenzahlen bei den beiden Würfeln besser einschätzen zu können, wollen wir die beiden Würfel öfter werfen.Dies kann alleine umgesetzt werden. Schneller geht das, wenn das Werfen gemeinsam und arbeitsteilig durchführt wird:
Methodisches Vorgehen
Jeder in der Gruppe erhält einen Würfel: die eine Hälfte der Gruppe einen Standardwürfel, die andere Hälfte einen Pyramidenwürfel.
Einigt euch, ...
- wie die Würfel geworfen werden (auf welchem Untergrund; mit oder ohne Würfelbecher; wie weit ausrollen lassen; ...).
- wie oft jeder seinen Würfel wirft (z. B. 100-mal).
- wie die Ergebnisse protokolliert werden (z. B. mit einer Strichliste zu den jeweiligen Augenzahlen).
Sammelt die Würfelergebnisse im Anschluss an die Würfelphase für alle sichtbar in einer Tabelle (an der Tafel, in einer digitalen Tabelle oder auf diesem zweiten Dokumentationsblatt) gesammelt.
Tipp: Simulations-Applets
Statt Würfel real zu werfen, könnt ihr auch die Simulationen am Ende dieser Seite nutzen.
Die Würfelergebnisse betrachten
Aufgabe 1
Führt die Experimente selbst durch und sammelt die Ergebnisse wie in der Tabelle unten. Bestimmt dazu auch die absoluten und relativen Häufigkeiten.
So könnten beispielsweise die Würfelergebnisse notiert werden:
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Person 1 | $17$ | $12$ | $18$ | $16$ | $18$ | $19$ |
| Person 2 | $12$ | $24$ | $22$ | $18$ | $10$ | $14$ |
| Person 3 | $14$ | $22$ | $18$ | $18$ | $9$ | $19$ |
| Person 4 | $8$ | $17$ | $24$ | $20$ | $15$ | $16$ |
| Person 5 | $18$ | $19$ | $13$ | $12$ | $24$ | $14$ |
| Person 6 | $14$ | $13$ | $17$ | $21$ | $15$ | $20$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | |
| Summe = absolute Häufigkeit $H(e)$ |
$83$ | $107$ | $112$ | $105$ | $91$ | $102$ |
| relative Häufigkeit $h(e)$ | $0.138$ $13.8\%$ |
$0.178$ $17.8\%$ |
$0.187$ $18.7\%$ |
$0.175$ $17.5\%$ |
$0.152$ $15.2\%$ |
$0.17$ $17\%$ |
Aufgabe 2
Für den Standardwürfel: Vergleiche eure Ergebnisse mit den Erwartungen, die du an einen Standardwürfel hast.
Für den Pyramidenwürfel: Vergleiche eure Ergebnisse mit den Erwartungen, die du an den Pyramidenwürfel im Einstieg formuliert hast.
Wahrscheinlichkeiten festlegen
Jedes mögliche Würfelergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit. Doch wie groß ist sie?
Aufgabe 3
Erkläre, warum man hier für einen der beiden Würfel schon im Vorfeld Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen angeben kann und für den anderen nicht.
Aufgabe 4
(a) Bei einem fairen Standardwürfel wird die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $6$ mit $P(6) = \frac{1}{6}$ (und entsprechend für alle anderen Augenzahlen) beschrieben. Erläutere den Zusammenhang zwischen dieser Wahrscheinlichkeitsangabe und den Einträgen in der Tabelle in Aufgabe 1.
(b) Für den Pyramidenwürfel kann man nicht so einfach im Vorfeld schon eine Wahrscheinlichkeit angeben. Mithilfe der empirischen Ergebnisse können wir aber zumindest einen Vorschlag machen. Nutze dafür die Werte in der Tabelle oben sowie die Symmetrieeigenschaften des Würfels.
Simulations-Applet für den Standardwürfel
Hinweise zur Bedienung
- Im Eingabefeld maximale Anzahl kannst du selbst einstellen, wie oft der Standardwürfel geworfen werden soll.
- Mit den Schaltflächen Start und Stop kannst du das Würfelwerfen starten und zwischenzeitlich anhalten. Mit der Schaltfläche Neustart kannst du den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Die Geschwindigkeit der Würfelwürfe kannst du mit dem Schieberegler auf zwei unterschiedliche Stufen einstellen.
- Die Würfelergebnisse werden in dem Punktdiagramm sowie in den beiden Tabellen dargestellt. Die Tabelleneinträge sollst du (weiter unten) selbst deuten.
Mache dich zuerst einmal mit dem Applet vertraut.
Zum Herunterladen: wuerfelnSW.ggb
Simulations-Applet für den Pyramidenwürfel
Hinweise zur Bedienung
- Im Eingabefeld maximale Anzahl kannst du selbst einstellen, wie oft der Pyramidenwürfel geworfen werden soll.
- Mit den Schaltflächen Start und Stop kannst du das Würfelwerfen starten und zwischenzeitlich anhalten. Mit der Schaltfläche Neustart kannst du den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Die Geschwindigkeit der Würfelwürfe kannst du mit dem Schieberegler auf zwei unterschiedliche Stufen einstellen.
- Die Würfelergebnisse werden in dem Punktdiagramm sowie in den beiden Tabellen dargestellt. Die Tabelleneinträge sollst du (weiter unten) selbst deuten.
Mache dich zuerst einmal mit dem Applet vertraut.
Zum Herunterladen: wuerfelnPW.ggb
