Strukturierung – Zufall
Wir betrachten Situationen, in denen bei einem Vorgang unklar ist, welches Ergebnis eintritt. Eine solche Situation ist beispielsweise das Werfen eines Würfels, da die Augenzahl nicht vorhergesagt werden kann. Solche Situationen werden mit dem Begriff „Zufallsexperiment“ beschrieben:
Ein Zufallsexperiment (oder Zufallsversuch) ist ein Vorgang, bei dem mehrere Ergebnisse möglich sind, aber vorab nicht genau vorhergesagt werden kann, welches Ergebnis tatsächlich eintritt. Wir setzen bei einem Zufallsexperiment immer voraus, dass es unter gleichen Bedingungen wiederholt durchgeführt werden kann.
In der Stochastik kommen sehr viele verschiedene Fachbegriffe vor. Deshalb ist es eine gute Idee, sich diese übersichtlich – in einem Glossar – aufzuschreiben. Du kannst diese Vorlage nutzen. Was ein Zufallsexperiment ist, ist dort bereits notiert.
Zielsetzung
Auf dieser Seite geht es darum, Zufallsexperimente genauer zu untersuchen. Insbesondere interessiert uns die Frage: „Was passiert, wenn ein Zufallsexperiment oft wiederholt wird?“
Eine Vermutung über die Zufallsschwankungen aufstellen
Bei der einmaligen Durchführung eines Zufallsexperiments, kann das Eintreffen eines Ergebnisses nicht vorhergesagt werden. Wird das Zufallsexperiment dagegen wiederholt durchführt, zeigen sich interessante Effekte. Diese Effekte kannst du mit dem folgenden GeoGebra-Applet untersuchen.
Hier einige Hinweise zur Bedienung des Applets.
Hinweise zur Bedienung
- Im Eingabefeld maximale Anzahl kannst du selbst einstellen, wie oft der Standardwürfel geworfen werden soll.
- Mit den Schaltflächen Start und Stop kannst du das Würfelwerfen starten und zwischenzeitlich anhalten. Mit der Schaltfläche Neustart kannst du den Ausgangszustand wieder herstellen.
- Die Geschwindigkeit der Würfelwürfe kannst du mit dem Schieberegler auf zwei unterschiedliche Stufen einstellen.
Zum Herunterladen: empirischesGesetzSW.ggb
Aufgabe 1
Gehe von folgenden Einstellungen aus.
- Mache einen Neustart.
- Übernimm die Gesamtanzahl 100 der Würfe.
- Stelle die Geschwindigkeit auf „klein“ ein.
Gehe dann folgendermaßen vor: Aktiviere Start und klick sofort Stop, sobald ein Würfelwurf simuliert wurde. Beobachte die Einträge in den Tabellen und die Darstellung im unteren Fenster. Fahre dann für einzelne Würfelwürfe genauso fort, bis du die Darstellung im unteren Fenster verstanden hast.
Beschreibe abschließend in eigenen Worten, was der Graph im unteren Fenster (bei einer vorgegebenen Augenzahl) darstellt.
Aufgabe 2
Wenn die Darstellung im unteren Fenster klar ist, kannst du die Geschwindigkeit auf „groß“ einstellen und mit einem Neustart die Simulation der Würfelwürfe wiederholt durchführen.
(a) Was lässt sich über die Entwicklung der Zufallsschwankungen der relativen Häufigkeiten sagen? Beschreibe deine Beobachtungen auch mit Blick auf die orangefarbene Gerade.
(b) Die orangefarbene Gerade liegt bei $y=0.1\overline{6}$. Erkläre den Zusammenhang zwischen diesem Wert und den relativen Häufigkeiten.
(c) Stelle eine Vermutung auf:
Die Vermutung überprüfen
Wir wollen nun deine Vermutung überprüfen:
Aufgabe 3
Acht Personen haben 120-mal einen Standardwürfel geworfen. Zurzeit ist die Wurfserie der Person 2 rot hervorgehoben:
(a) Erkläre, wie der Graph der Person 2 entstanden ist. Nutze dazu auch die Tabelle. Rechne mit den blauen Werten nach.
(b) Verändere den Schieberegler und betrachte so auch die Wurfserien der anderen Personen. Beschreibe, wie sich die Graphen entwickeln, wenn die Wurfzahlen steigen.
(c) Betrachte nun die blau markierten Werte einer beliebigen Person. Beziehe Stellung zur Aussage "Je öfter man würfelt, desto genauer erhält man die Wahrscheinlichkeit." (Klicke dich dazu auch durch die anderen Personen und nutze zuletzt den Button Alles neu berechnen.)
Bei langen Würfelserien zeigen sich Effekte, die auch beim wiederholten Durchführen anderer Zufallsexperimente beobachtet werden können.
Aufgabe 4
(a) Beschreibe den Effekt, der bei einer langen Serie zur wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments beobachtet werden kann. Mit „empirisch“ wird angedeutet, dass der Effekt tatsächlich bei real durchgeführten Experimenten auftritt.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Wenn ein Zufallsexperiment wiederholt durchgeführt wird, ...
(b)Wenn du dir bei der Formulierung hinreichend sicher bist, notiere dir den Satz im Glossar.
Der Zusammenhang von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Ziel
Die Begriffe Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit hängen eng miteinander zusammen – sie werden verbunden, durch das empirische Gesetz der großen Zahlen. Der Zusammenhang soll hier näher betrachtet werden.
🖊️ Nutze den folgenden Wissensspeicher, um dir die wichtigsten Ergebnisse dieser Seite zu notieren.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Wenn ein Zufallsexperiment wiederholt durchgeführt wird, dann stabilisieren sich mit zunehmender Wiederholungszahl die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse.
Wahrscheinlichkeit
Diesen Stabilisierungswert – also die erwartete relative Häufigkeit eines Ergebnisses bei einer langen Versuchsreihe – nennen wir Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.
Relative Häufigkeiten als Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten verwenden
Wir verwenden das empirische Gesetz der großen Zahlen, um die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen mit Hilfe von relativen Häufigkeiten abzuschätzen.
Als Beispiel betrachten wir einen Pyramidenwürfel. Bei einem solchen Würfel kann vorab nicht vorhergesagt werden, wie häufig eine Augenzahl auf lange Sicht fällt. Erst die Durchführung einer längeren Versuchsreihe liefert hier Anhaltspunkte.
Zur Durchführung einer längeren Versuchsreihe kannst du das hier bereitgestellte GeoGebra-Applet benutzen.
Zum Herunterladen: wuerfelnPW.ggb
Gehe von folgenden Einstellungen aus.
- Mache einen Neustart.
- Übernimm die Gesamtanzahl 500 der Würfe.
- Stelle die Geschwindigkeit auf einen großen Wert ein.
- Führe die Würfelserie mit Start aus.
Aufgabe 1 (Erarbeitung)
(a) Die Tabelle enthält bereits zwei Zeilen [Version 1] und [Version 2] mit Werten für jeweils eine Würfelserie mit 500 simulierten Würfelwürfen. Ergänze in der Zeile [Version 3] deine ermittelten Werte.
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| relative Häufigkeit $h(e)$ [Version 1] | $0.358$ | $0.158$ | $0.146$ | $0.138$ | $0.138$ | $0.062$ |
| relative Häufigkeit $h(e)$ [Version 2] | $0.318$ | $0.13$ | $0.136$ | $0.17$ | $0.192$ | $0.054$ |
| relative Häufigkeit $h(e)$ [Version 3] | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
(b) Mit den Ergebnissen solcher Versuchsreihen soll jetzt die erwartete relative Häufigkeit bei einer langen Versuchsreihe abgeschätzt werden. Diskutiere vorab folgende Fragen:
- Warum ist es sinnvoll, die Werte aus mehreren Versuchsreihen zu berücksichtigen?
- Warum ist es sinnvoll, den Augenzahlen 2, 3, 4 und 5 auf lange Sicht gleiche Chancen einzuräumen?
- Warum sollte die Summe der erwarteten relativen Häufigkeiten 1 betragen?
(c) Trage jetzt deine erwarteten relativen Häufigkeiten als geschätzte Wahrscheinlichkeiten in die folgende Tabelle ein.
Schätzung:
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wahrscheinlichkeit $P(e)$ | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Aufgabe 2 (Sicherung)
🖊️ Trage dir das Vorgehen im Wissensspeicher ein.
Wahrscheinlichkeiten als Prognosewerte verwenden
Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen eines Zufallsexperiments sind erwartete relative Häufigkeiten bei einer langen Versuchsreihe. Wenn die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen eines Zufallsexperiments gegeben sind, werden sie genutzt, um Prognosen über relative Häufigkeiten bei (real oder hypothetisch) geplanten Versuchsreihen zu erstellen. Hier spielen wir das am Beispiel eines Standardwürfels und eines Pyramidenwürfels durch.
Bei einem fairen Standardwürfel wird davon ausgegangen, dass alle Augenzahlen mit den gleichen Chancen fallen. Wir beschreiben diese Annahme, indem wir jeder Augenzahl die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ zuordnen.
Annahme:
| Augenzahl $e$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wahrscheinlichkeit $P(e)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
