Zusammenfassung – Axiome von Kolmogorow
Formale Herangehensweise
Im vorherigen Unterkapitel haben wir definiert, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über einer Ergebnismenge ist.
Mathematisch ist es deutlich mächtiger, statt Ergebnissen Ereignisse zu betrachten. Deshalb ist das heute die verbreitete Herangehensweise in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im Jahr 1933 hat der russische Mathematiker Kolmogorow hierzu eine theoretische Grundlage formuliert:
Axiome von Kolmogorow
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion $P$, die Ereignissen $E \subseteq \Omega$ eine Wahrscheinlichkeit $P(E)$ zuordnet und dabei folgende Bedingungen erfüllt:
- Nichtnegativität: Für jedes Ereignis $E$ gilt $P(E) \geq 0$.
- Normiertheit: $P(\Omega) = 1$.
- Additivität: Wenn zwei Ereignisse $X$ und $Y$ unvereinbar (sie haben keine gemeinsamen Elemente, also $X \cap Y = \emptyset$) sind, dann gilt $P(X\cup Y) = P(X) + P(Y)$.
Aus diesen Axiomen lassen sich die Rechenregeln, die auf der Seite Zusammenfassung – Verknüpfung von Ereignissen dargestellt werden, herleiten.
