Zusammenfassung – Verknüpfung von Ereignissen
Einen Kontext betrachten
Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge betrachten wir auch hier Augensummen von zwei Würfeln.
Beispiel: 2-Würfel-Summen-Modell
| Realität | Modell | ||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Summe der Augenzahlen beobachten |
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| Ergebnisse: Summe beträgt 2 Summe beträgt 3 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{2, 3, 4, ..., 11, 12\}$ |
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| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Augenkombinationen der beiden Würfel sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
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Ereignisse kombinieren
Und-Verknüpfung:
| Ereignisse – Realität | Ereignisse – Modell |
|---|---|
| $X$: die Augensumme ist kleiner als 6 | $X = \{ 2, 3, 4, 5 \}$ |
| $Y$: die Augensumme ist größer als 3 | $Y = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \}$ |
| $X$ und $Y$: die Augensumme ist kleiner als 6 und die Augensumme ist größer als 3 | $X \cap Y = \{ 4, 5 \}$ |
Oder-Verknüpfung:
| Ereignisse – Realität | Ereignisse – Modell |
|---|---|
| $X$: die Augensumme liegt im Bereich 2...6 | $X = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}$ |
| $Y$: die Augensumme liegt im Bereich 4...8 | $Y = \{ 4, 5, 6, 7, 8 \}$ |
| $X$ oder $Y$: die Augensumme liegt im Bereich 2...6 oder die Augensumme liegt im Bereich 4...8 | $X \cup Y = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ |
Beachte: Die oder-Verknüpfung entspricht nicht dem entweder-oder
aus unserer Alltagssprache.
Sie lässt sich so beschreiben: das eine oder das andere oder auch beides
.
Nicht-Verknüpfung:
| Ereignisse – Realität | Ereignisse – Modell |
|---|---|
| $X$: die Augensumme ist kleiner als 10 | $X = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ |
| nicht $X$: die Augensumme ist nicht kleiner als 10 | $\overlinepatch{X} = \{ 10, 11, 12 \}$ |
Ein Ereignis, das man mit dem nicht-Operator erhält, wird auch Gegenereignis genannt.
Zu einem Ereignis $X$ enthält das Gegenereignis $\overlinepatch{X}$ alle Ergebnisse aus der Grundmenge $\Omega$, die nicht in $X$ enthalten sind.
Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse
Wir stellen hier einige Rechenregeln zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse zusammen.
Komplett banal erscheint die folgende Feststellung:
Sicheres und unmögliches Ereignis
Für das sichere Ereignis $\Omega$ und das unmögliche Ereignis $\emptyset$ gilt:
$P(\Omega) = 1$ und $P(\emptyset) = 0$
Sehr häufig wird die folgende Regel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses genutzt:
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overlinepatch{X}$ zu einem Ereignis $X$ gilt:
$P(X) + P(\overlinepatch{X}) = 1$
$P(\overlinepatch{X}) = 1 - P(X)$
Recht einfach sind die Berechnungen, wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind:
Zwei Ereignisse $X$ und $Y$ heißen unvereinbar genau dann, wenn sie nicht beide eintreten können bzw. wenn das Und-Ereignis die leere Menge ergibt: $X \cap Y = \emptyset$.
Für unvereinbare Ereignisse resultieren folgende Rechenregeln:
Unvereinbare Ereignisse
Für zwei unvereinbare Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cap Y) = 0$
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
Bei einer Oder-Verknüpfung ist es möglich, dass Ergebnisse in beiden Ereignissen enthalten sind. Diese Tatsache führt zu der folgenden Formel:
Additionssatz
Für zwei Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
Aus den vorherigen Regeln folgt insbesondere diese Regel, die auch anschaulich klar sein sollte:
Teilmengenregel
Wenn ein Ereignis $X$ Teilmenge eines Ereignisses $Y$ ist – also $X \subseteq Y$ –, dann gilt $P(X) \leq P(Y)$.
