Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Regeln aufstellen und formulieren
Aufgabe 1
In dieser Aufgabe untersuchst du Zusammenhänge zwischen Aussagen über Ereignisse.
(a)
Markiere alle Beziehungen zwischen den unten stehenden Aussagen für Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsmodell für Die Siedler von Catan
:
- Wenn aus Aussage 1 folgt, dass auch Aussage 2 gilt, dann zeichne einen Pfeil von Aussage 1 zu Aussage 2.
- Wenn umgekehrt auch aus Aussage 2 folgt, dass Aussage 1 gilt, sind die Aussagen gleichwertig. Zeichne dann einen Pfeil mit Spitzen an beiden Enden.
- Einige Aussagen sind allgemeingültig. Kreise diese Aussagen ein und zeichne an sie keine Pfeile.
Es empfiehlt sich, die Aussagen vor dem Einzeichnen der Pfeile erst in Gruppen anzuordnen.
Zum Herunterladen: mengenbeziehungen.ggb
💡 Hilfe
Orientiere dich an den folgenden Mengendiagrammen:
(b)
Gib auf dem Spielfeld von Die Siedler von Catan
für jede Gruppe gleichwertiger Aussagen passende Positionen für Häuser als Mengen von Würfelsummen an oder begründe, warum das nicht möglich ist.
Überprüfe anschließend, ob du in Teil (a) Zusammenhänge von Aussagen übersehen hast.
Zum Herunterladen: catan_spielfeld.ggb
(c) ☠
Einige der Aussagen sind im Wahrscheinlichkeitsmodell für Die Siedler von Catan
gleichwertig, aber nicht für jedes Wahrscheinlichkeitsmodell.
Definiere losgelöst vom Spiel ein Wahrscheinlichkeitsmodell mit Ergebnismenge $\Omega$ und Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$, mit dem du eine Gleichwertigkeit von zwei Aussagen von oben aufheben kannst.
Gib Ereignisse an, die diese Gleichwertigkeit verletzen.
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gelten einige Rechenregeln, die meist anschaulich sehr klar sind.
Aufgabe 2
(a) Vollziehe die Regeln an einem konkreten Beispiel nach.
(b) 🖊️ Notiere dir die Regeln, die dir nicht ohnehin schon klar erscheinen.
Sicheres und unmögliches Ereignis
Für das sichere Ereignis $\Omega$ und das unmögliche Ereignis $\emptyset$ gilt:
$P(\Omega) = 1$ und $P(\emptyset) = 0$
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overlinepatch{X}$ zu einem Ereignis $X$ gilt:
$P(X) + P(\overlinepatch{X}) = 1$
$P(\overlinepatch{X}) = 1 - P(X)$
Unvereinbare Ereignisse
Für zwei unvereinbare Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cap Y) = 0$
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
Additionssatz
Für zwei Ereignisse $X$ und $Y$ gilt:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
Teilmengenregel
Wenn ein Ereignis $X$ Teilmenge eines Ereignisses $Y$ ist – also $X \subseteq Y$ –, dann gilt $P(X) \leq P(Y)$.
