Strukturierung – Wahrscheinlichkeitsmodelle
Zielsetzung
Wahrscheinlichkeiten werden immer von Menschen gesetzt. Sie sind mathematische Modelle, die passend zu realen Situationen erschaffen werden. Einschätzungen zu realen Situationen werden meist informell in unserer gängigen Umgangssprache formuliert. Mathematische Modelle werden dagegen immer möglichst präzise in der Sprache der Mathematik beschrieben.
Zielsetzung
Für die Beschreibung realer Situationen durch mathematische Modelle, werden Fachbegriffe und Schreibweisen verwendet. In diesem Abschnitt werden wir diese eher formalen Darstellungen einführen, um sie dann in den weiteren Kapiteln nutzen zu können.
Hierzu werden die beiden bereits betrachteten Würfel formal beschrieben und du sollst darunter hierzu Fragen beantworten.
Einen Standardwürfel modellieren
Wir betrachten zunächst einen gewöhnlichen Standardwürfel – so wie er im Applet simuliert wird – und zeigen, wie ein solcher Würfel mathematisch beschrieben werden kann.
Zum Herunterladen: wuerfelnSW.ggb
Beispiel: Standardwürfel-Modell
| Realität | Modell | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Zufallsexperiment: einen Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten |
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| Ergebnisse: 1: Augenzahl 1 2: Augenzahl 2 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ |
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| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
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Einen Pyramidenwürfel modellieren
Zusätzlich betrachten wir einen Pyramidenwürfel - so wie er im Applet simuliert wird - und präsentieren auch für diesen Würfel die mathematische Beschreibung.
Zum Herunterladen: wuerfelnPW.ggb
Beispiel: Pyramidenwürfel-Modell
| Realität | Modell | ||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Zufallsexperiment: einen Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten |
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| Ergebnisse: 1: Augenzahl 1 2: Augenzahl 2 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ |
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| Wahrscheinlichkeitsschätzung: Die Wahrscheinlichkeiten werden ausgehend von den relativen Häufigkeiten aus einer langen Versuchsreihe gesetzt.
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Wahrscheinlichkeitsfunktion:
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Begriffe präzisieren
Die Beispiele verdeutlichen, dass wir ein Wahrscheinlichkeitsmodell mit einer Ergebnismenge und einer Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben.
Aufgabe 1
(a) Warum passen diese Ergebnismengen nicht zu dem Zufallsexperiment „einen Standardwürfel werfen und die Augenzahl beobachten“?
- $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
- $\Omega = \{g, u\}$, wobei g für „gerade Augenzahl“ und u für „ungerade Augenzahl“ steht
(b) 🖊️ Ergänze die Präzisierung des Fachbegriffs „Ergebnismenge“ und übernimm sie ins Glossar.
Die Ergebnismenge zu einem Zufallsexperiment ... .
Aufgabe 2
(a) Warum stellen die folgenden Wertetabellen keine sinnvollen Festlegungen von Wahrscheinlichkeiten dar?
| $\boldsymbol{e}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $\boldsymbol{P(e)}$ | 0.1 | -0.2 | 1.3 | -0.4 | 0.5 | 0.5 |
| $\boldsymbol{e}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $\boldsymbol{P(e)}$ | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
(b) 🖊️ Ergänze die Präzisierung des Fachbegriffs „Wahrscheinlichkeitsfunktion“ und übernimm sie ins Glossar.
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Funktion $P$, die jedem Ergebnis $e \in \Omega$ eine Wahrscheinlichkeit $P(e)$ zuordnet. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
- $P(e)$ ist für alle $e \in \Omega$ eine reelle Zahl aus dem Intervall ....
- Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $P(e)$ für $e \in \Omega$ muss den Wert ... ergeben.
Besondere Wahrscheinlichkeitsmodelle herausstellen
Die Festlegung der Wahrscheinlichkeitsfunktion beim Standardwürfel ist besonders einfach, da wir hier von der Annahme ausgehen können, dass alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Zufallsexperimente mit dieser Eigenschaft nennt man Laplace-Experimente (nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace, der von 1749 bis 1827 lebte).
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.
Das Zufallsexperiment „einen Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten“ ist ein Laplace-Experiment. Das Zufallsexperiment „einen Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahl beobachten“ ist dagegen kein Laplace-Experiment.
Aufgabe 3
(a) Vervollständige die folgende Aussage:
Bei einem Laplace-Experiment mit $n$ Ergebnissen wird die Wahrscheinlichkeit so festgelegt:
$P(e) = ...$ für alle Ergebnisse $e$ aus der Ergebnismenge $\Omega$.
(b) Übernimm auch den Begriff „Laplace-Experiment“ ins Glossar.
Aufgabe 4
(a) Nenne drei Zufallsexperimente, die ein Laplace-Experiment darstellen.
(b) Stellt das Zufallsexperiment „einen Standardwürfel werfen und beobachten, ob die Augenzahl gerade oder ungerade ist“ ein Laplace-Experiment dar? Begründe deine Antwort.
(c) Stellt das Zufallsexperiment „einen Pyramidenwürfel werfen und beobachten, ob die Augenzahl kleiner gleich 2 oder größer als 2 ist“ ein Laplace-Experiment dar? Begründe deine Antwort.
Ein gesamtes Wahrscheinlichkeitsmodell beschreiben
Aufgabe 5
Suche dir ein Zufallsexperiment deiner Wahl aus und beschreibe es analog zu den beiden Beispielen oben. Nutze dafür folgendes Arbeitsblatt.
