Vertiefung – Verknüpfung von Ereignissen
Begriffe und Schreibweisen festlegen
Das Verknüpfen von Ereignissen lässt sich mit Mengenoperationen kompakt beschreiben. Die folgenden Mengenoperationen für zwei Mengen $X$ und $Y$ hast du vielleicht schon an anderer Stelle kennengelernt:
Die Vereinigungsmenge $X \cup Y$ enthält alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind.
Die Schnittmenge $X \cap Y$ enthält alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.
Aussprache: $X$ vereinigt $Y$
und $X$ geschnitten $Y$
Beispiel 1
Für $X = \{1, 3, 5, 6\}$ und $Y = \{2, 3, 6\}$ gilt: $$\begin{align*} X \cup Y &= \{1, 2, 3, 5, 6\} \\ X \cap Y &= \{3, 6\} \end{align*}$$Beispiel 2
Für $X = \{1, 5\}$ und $Y = \{2, 3, 4, 6\}$ gilt: $$\begin{align*} X \cup Y &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \\ X \cap Y &= \emptyset \quad \text{(die leere Menge)} \end{align*}$$Diese Operationen lassen sich auch auf Ereignisse als Mengen von Ergebnissen anwenden. Für Ereignisse auf einer Ergebnismenge $\Omega$ sind außerdem auch die folgenden Definitionen praktisch:
Zu einem Ereignis $X \subseteq \Omega$ enthält das Gegenereignis $\overlinepatch{X}$ alle Ergebnisse, die nicht in $X$ enthalten sind.
Zwei Ereignisse $X$ und $Y$ heißen unvereinbar genau dann, wenn sie nicht beide eintreten können: $X \cap Y = \emptyset$. (Sie sind also disjunkt wie in Beispiel 2)
Die Notation $X \subseteq \Omega$ wird folgendermaßen gelesen: $X$ ist eine Teilmenge von $\Omega$.
Das bedeutet: Jedes Element von $X$ ist auch ein Element von $\Omega$ (also hier: jedes Element von $X$ ist ein Ergebnis).
Beispiel 3
Beim Würfelwurf (Ergebnismenge $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$) ist zum Ereignis $X = \{2, 4, 6\}$ (gerade Zahlen) das Gegenereignis $\overlinepatch{X} = \{1, 3, 5\}$ (ungerade Zahlen).Aufgabe 1
Im letzten Schritt hast du bereits verschiedene Verknüpfungen von Ereignissen als Mengen beschrieben. Diese Ereignisse wollen wir jetzt formalisieren:
Beschreibe die folgenden Mengen mithilfe der Ereignisse $A$, $B$ und $C$ (Haus A/B/C erhält eine Ressource
) sowie geeigneter Mengenoperationen.
Aufgabe 2
Wir betrachten abstrakt für eine Ergebnismenge $\Omega$ zwei Ereignisse $X, Y \subseteq \Omega$.
Beschreibe die folgenden Ereignisse in Worten oder nutze die LearningApp.
Mit Mengenoperationen | In Worten |
---|---|
$X \cap Y$ | … |
$X \cup Y$ | … |
$\overlinepatch{X}$ | … |
$X \cap{} \overlinepatch{Y}$ | … |
Aufgabe 3
🖊️ Notiere dir Erklärungen zu den Begriffen Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Gegenereignis und unvereinbare Ereignisse im Glossar. Übernimm am besten auch passende Mengen-Diagramme.