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Vertiefung – Verknüpfung von Ereignissen

Begriffe und Schreibweisen festlegen

Das Verknüpfen von Ereignissen lässt sich mit Mengenoperationen kompakt beschreiben. Die folgenden Mengenoperationen für zwei Mengen $X$ und $Y$ hast du vielleicht schon an anderer Stelle kennengelernt:

Die Vereinigungsmenge $X \cup Y$ enthält alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind.

Die Schnittmenge $X \cap Y$ enthält alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Aussprache: $X$ vereinigt $Y$ und $X$ geschnitten $Y$

Beispiel 1

Für $X = \{1, 3, 5, 6\}$ und $Y = \{2, 3, 6\}$ gilt: $$\begin{align*} X \cup Y &= \{1, 2, 3, 5, 6\} \\ X \cap Y &= \{3, 6\} \end{align*}$$
Visualisierung einer Vereinigungsmenge als Mengendiagramm Visualisierung einer Schnittmenge als Mengendiagramm

Beispiel 2

Für $X = \{1, 5\}$ und $Y = \{2, 3, 4, 6\}$ gilt: $$\begin{align*} X \cup Y &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \\ X \cap Y &= \emptyset \quad \text{(die leere Menge)} \end{align*}$$
Visualisierung einer Vereinigungsmenge als Mengendiagramm Visualisierung einer Schnittmenge als Mengendiagramm Da die Schnittmenge hier leer ist, nennt man die Mengen auch  disjunkt.

Diese Operationen lassen sich auch auf Ereignisse als Mengen von Ergebnissen anwenden. Für Ereignisse auf einer Ergebnismenge $\Omega$ sind außerdem auch die folgenden Definitionen praktisch:

Zu einem Ereignis $X \subseteq \Omega$ enthält das Gegenereignis $\overlinepatch{X}$ alle Ergebnisse, die nicht in $X$ enthalten sind.

Zwei Ereignisse $X$ und $Y$ heißen unvereinbar genau dann, wenn sie nicht beide eintreten können: $X \cap Y = \emptyset$. (Sie sind also disjunkt wie in Beispiel 2)

Die Notation $X \subseteq \Omega$ wird folgendermaßen gelesen: $X$ ist eine Teilmenge von $\Omega$. Das bedeutet: Jedes Element von $X$ ist auch ein Element von $\Omega$ (also hier: jedes Element von $X$ ist ein Ergebnis).

Beispiel 3

Beim Würfelwurf (Ergebnismenge $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$) ist zum Ereignis $X = \{2, 4, 6\}$ (gerade Zahlen) das Gegenereignis $\overlinepatch{X} = \{1, 3, 5\}$ (ungerade Zahlen). Visualisierung eines Gegenereignisses als Mengendiagramm

Aufgabe 1

Im letzten Schritt hast du bereits verschiedene Verknüpfungen von Ereignissen als Mengen beschrieben. Diese Ereignisse wollen wir jetzt formalisieren:

Beschreibe die folgenden Mengen mithilfe der Ereignisse $A$, $B$ und $C$ (Haus A/B/C erhält eine Ressource) sowie geeigneter Mengenoperationen.

\begin{array}{l@{\qquad}l@{\qquad}l} \textbf{In Worten} & \textbf{Ergebnisliste} & \textbf{Mit Mengenoperationen} \\ \textit{Haus B und Haus C erhalten beide eine Ressource.} & E_1 = \{\placeholder[menge-ereignis-1]{}\} & E_1 = \placeholder[mengenoperation-ereignis-1]{B \placeholder[a]{?} C} \\ \textit{Haus B oder Haus C erhält eine Ressource.} & E_2 = \{\placeholder[menge-ereignis-2]{}\} & E_2 = \placeholder[mengenoperation-ereignis-2]{} \\ \textit{Haus B erhält keine Ressource.} & E_3 = \{\placeholder[menge-ereignis-3]{}\} & E_3 = \placeholder[mengenoperation-ereignis-3]{} \\ \textit{Haus B erhält eine Ressource, aber nicht Haus A.} & E_4 = \{\placeholder[menge-ereignis-4]{}\} & E_4 = \placeholder[mengenoperation-ereignis-4]{} \\ \textit{Kein Haus erhält eine Ressource.} & E_5 = \{\placeholder[menge-ereignis-5]{}\} & E_5 = \placeholder[mengenoperation-ereignis-5]{} \\ \end{array}

Aufgabe 2

Wir betrachten abstrakt für eine Ergebnismenge $\Omega$ zwei Ereignisse $X, Y \subseteq \Omega$.

Beschreibe die folgenden Ereignisse in Worten oder nutze die LearningApp.

Mit Mengenoperationen In Worten
$X \cap Y$
$X \cup Y$
$\overlinepatch{X}$
$X \cap{} \overlinepatch{Y}$
LearningApp

Quelle: LearningApps

Aufgabe 3

🖊️ Notiere dir Erklärungen zu den Begriffen Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Gegenereignis und unvereinbare Ereignisse im Glossar. Übernimm am besten auch passende Mengen-Diagramme.

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