Strukturierung – Ereignisse
Einstieg – die Ausgangssituation klären
Im letzten Kapitel hast du dich bei der Analyse des 17-und-4-Spiels mit folgender Leitfrage beschäftigt:
Leitfrage
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Werfen von zwei Würfeln, eine bestimmte Augensumme (bzw. eine bestimmte Augendifferenz) zu erzielen?
Ausgehend von den Überlegungen zur Bearbeitung dieser Frage führen wir hier die gebräuchlichen Fachbegriffe ein und verallgemeinern das bereits intuitiv benutzte Verfahren.
Erarbeitung – Ereignisse beschreiben und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Wir betrachten das Werfen von zwei Standardwürfeln und beschreiben es mit dem folgenden Modell:
Beispiel: 2-Würfel-Augen-Modell
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten |
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| Ergebnisse: 11: roter Würfel eine 1 und orangefarbener Würfel eine 1 12: roter Würfel eine 1 und orangefarbener Würfel eine 2 ... |
Ergebnismenge: $\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$ |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$ |
Aus den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse können direkt die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmt werden. In der folgenden Übersicht sind einige Resultate aus dem letzten Kapitel eingetragen.
Beispiel: Ereignisse im 2-Würfel-Augen-Modell
| Realität | Modell |
|---|---|
| Ereignisse: $S_{2}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 2 $S_{3}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 3 ... $S_{12}$: die Summe der Augenzahlen beträgt 12 |
Ereignisse: $S_{2} = \{11\}$ $S_{3} = \{12, 21\}$ $S_{4} = \{ ... \}$ ... $S_{12} = \{ ... \}$ |
| Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: $P(S_{2}) = \frac{1}{36}$ $P(S_{3}) = ...$ $P(S_{4}) = ...$ ... $P(S_{12}) = ...$ |
Aufgabe 1
(a) Ergänze die Einträge im Modell. Nutze dabei deine Resultate aus dem letzten Kapitel. Es genügen wenige Beispiele, um das Prinzip zu verstehen.
(b) Erläutere anhand der gezeigten Modellbeschreibung, wie Ereignisse mathematisch beschrieben werden und wie (beim vorliegenden Zufallsexperiment) die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmt werden.
Vertiefung – eine Variation des 2-Würfel-Augen-Modells betrachten
Wir betrachten hier das Zufallsexperiment „2 Pyramidenwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten“. Die Übersicht gibt Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments an. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse hier – im Gegensatz zum entsprechenden Zufallsexperiment mit den Standardwürfeln – nicht alle gleich sind. Wie sich diese Wahrscheinlichkeitswerte ergeben, wird im Kapitel Mehrstufige Zufallsexperimentegezeigt.
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$0.16$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.06$ | $0.02$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.06$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0225$ | $0.0075$ |
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$0.02$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0075$ | $0.0025$ |
Aufgabe 2
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse für das Zufallsexperiment mit den Pyramidenwürfeln.
$S_{2} = \{ 11 \}$ bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 2
$S_{3} = \{ 12, 21 \}$ bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 3
$S_{9} = \{ 36, 45, 54, 63 \}$ bzw. die Summe der Augenzahlen beträgt 9
Aufgabe 3
Wir verallgemeinern unsere Erkenntnisse:
(a) 🖊️ Ergänze diese Definition und notiere sie dir im Glossar.
Ein Ereignis bei einem Zufallsexperiment wird mathematisch beschrieben ....
(b) 🖊️ Ergänze diese Zusammenhänge und trage auch sie im Glossar beim Begriff Ereignis ein.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem beliebigen Zufallsexperiment erhält man ...
Bei Laplace-Experimenten kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch so bestimmt werden: ...
(c) 🖊️ Drei Ereignisse erhalten einen besonderen Namen. Erkläre, warum diese Namen sinnvoll sind, und übernimm die Definitionen ins Glossar.
Das Ereignis $E = \Omega$ heißt sicheres Ereignis.
Das Ereignis $E = \emptyset$ (leere Menge) heißt unmögliches Ereignis.
Ein Ereignis, das nur ein Ergebnis enthält, heißt Elementarereignis.
