Einstieg
Zur Orientierung
Im Erkundungskapitel hast du untersucht, wie sich die Entwicklung der Zuflussrate auf die Entwicklung der Zuflussmenge auswirkt.
Wir lösen uns hier vom Kontext Zufluss-Abfluss-System
, betrachten aber denselben Zusammenhang.
Zuflussmengen mit Integralen beschreiben
Im folgenden Applet ist im unteren Fenster eine Funktion $f$ vorgegeben.
Im Kontext Zufluss-Abfluss-System
beschreibt sie die Entwicklung der Zuflussrate.
Mit den Schaltflächen [A], ..., [D] kann man diese vorgegebene Funktion variieren.
Im oberen Fenster wird der Graph einer Funktion dargestellt,
die im Kontext Zufluss-Abfluss-System
die die Entwicklung der Zuflussmenge – passend zur Zuflussrate – beschreibt.
Zum Herunterladen: integralfunktionen1.ggb
Aufgabe 1
(a) Verdeutliche im Applet:
Den Gesamtzufluss in beliebigen Intervallen $0 \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $0$ und variabler oberer Grenze $x \ge 0$ kann man mit der folgenden Funktion beschreiben: $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t) dt$.
(b) Im Applet kann man mit dem Schieberegeler [a] den Beginn des Zufluss-Abfluss-Prozesses verändern. Verdeutliche im Applet:
Den Gesamtzufluss in beliebigen Intervallen $a \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $a$ und variabler oberer Grenze $x \ge a$ kann man mit der folgenden Funktion beschreiben: $I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt$.
Integralfunktionen
Wir führen einen Begriff für die oben betrachtete Funktion $I_{a}$ ein.
Integralfunktion
Betrachte eine Funktion $f$ und Intervalle $a \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $a$ und variabler oberer Grenze $x$, die ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegen. Die Funktion, die jedem $x \ge a$ das Integral zur Funktion $f$ von $a$ bis $x$ zuordnet, nennt man Integralfunktion zur Funktion $f$ (zur unteren Grenze $a$). Für diesen Grenzwert nutzt man folgende Schreibweisen:
$I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt$ $\qquad$ (historische Schreibweise)
$I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f$ $\qquad$ (kurze Operatorschreibweise)
Die Ausgangsfunktion zu einer Integralfunktion nennt man auch Randunktion zur Integralfunktion.
Zielsetzung
In den folgenden Abschnitten geht es darum, Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion $f$ und der Integralfunktion $I_{a}$ herzustellen.
