Zusammenfassung – Integralfunktionen
Beschreibung von Zuflussmengen mit Integralen
Im folgenden Applet ist im unteren Fenster eine Funktion $f$ vorgegeben.
Im Kontext Zufluss-Abfluss-System
beschreibt sie die Entwicklung der Zuflussrate.
Mit den Schaltflächen [A], ..., [D] kann man diese vorgegebene Funktion variieren.
Im oberen Fenster wird der Graph einer Funktion dargestellt,
die im Kontext Zufluss-Abfluss-System
die die Entwicklung der Zuflussmenge – passend zur Zuflussrate – beschreibt.
Zum Herunterladen: integralfunktionen1.ggb
Im Applet erkennt man:
Den Gesamtzufluss in beliebigen Intervallen $0 \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $0$ und variabler oberer Grenze $x \ge 0$ kann man mit der folgenden Funktion beschreiben: $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t) dt$.
Im Applet kann man mit dem Schieberegeler [a] den Beginn des Zufluss-Abfluss-Prozesses verändern. Hier zeigt sich ebenfalls:
Den Gesamtzufluss in beliebigen Intervallen $a \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $a$ und variabler oberer Grenze $x \ge a$ kann man mit der folgenden Funktion beschreiben: $I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt$.
Integralfunktionen
Wir führen einen Begriff für die oben betrachtete Funktion $I_{a}$ ein.
Integralfunktion
Betrachte eine Funktion $f$ und Intervalle $a \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $a$ und variabler oberer Grenze $x$, die ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegen. Die Funktion, die jedem $x \ge a$ das Integral zur Funktion $f$ von $a$ bis $x$ zuordnet, nennt man Integralfunktion zur Funktion $f$ (zur unteren Grenze $a$). Für diesen Grenzwert nutzt man folgende Schreibweisen:
$I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt$ $\qquad$ (historische Schreibweise)
$I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f$ $\qquad$ (kurze Operatorschreibweise)
Die Ausgangsfunktion zu einer Integralfunktion nennt man auch Randunktion zur Integralfunktion.
Zusammenhänge zwischen Integralfunktionen und Randfunktionen
Integralfunktionen beziehen sich immer auf Randfunktionen (bzw. Ausgangsfunktionen). Wie beeinflusst die Randfunktion die zugehörigen Integralfunktionen? Diese Frage wird hier untersucht.
Zur Vorgehensweise
Zusammenhänge zwischen Integralfunktionen und Randfunktionen hast du bereits beim Bearbeiten der Regelungsprobleme im letzten Kapitel ausgenutzt. Für eine systematischere Untersuchung der Zusammenhänge zwischen Integralfunktionen und Randfunktionen betrachten wir hier einfache Beispiele (mit dem Spezialfall $a = 0$). Gehe im Folgenden beim Argumentieren immer so vor: Wenn die Randfunktion die Eigenschaften ... hat, dann ergeben sich daraus die Eigenschaften ... der zugehörigen Integralfunktionen.
Wir betrachten zunächst konstante Zuflussraten.
| Beispiel | inhaltliche Beschreibung im Kontext Zufluss-Abfluss-System | formale Beschreibung |
|---|---|---|
Fall AZufluss (zugeflossene Wassermenge):- Der Zufluss steigt an. - Die Zuflussgeschwindigkeit bleibt gleich. - Es handelt sich um konstantes Wachstum. Zuflussrate: - Die Zuflussrate ist positiv. Es fließt Wasser in den Behälter hinein. - Die Zuflussrate ist konstant. Es fließt immer gleich viel Wasser in den Behälter hinein. |
$I_{a}$: - ist streng monoton steigend. - ist linear mit positiver Steigung. $f$: - ist positiv. - ist konstant. |
|
Fall AZufluss (zugeflossene Wassermenge):- Der (negative) Zufluss nimmt ab bzw. der Abfluss wird größer. - Die (negative) Zuflussgeschwindigkeit bleibt gleich, bzw. die Abflussgeschwindigkeit bleibt gleich. - Es handelt sich um konstanten Zerfall. Zuflussrate: - Die Zuflussrate ist negativ. Es fließt Wasser aus dem Behälter hinaus. - Die Zuflussrate ist konstant. Es fließt immer gleich viel Wasser aus dem Behälter hinaus. |
$I_{a}$: - ist streng monoton fallend. - ist linear mit negativer Steigung. $f$: - ist negativ. - ist konstant. |
In der folgenden Übersicht geht es um wachsende und fallende Zuflussraten.
| Beispiel | inhaltliche Beschreibung im Kontext Zufluss-Abfluss-System | formale Beschreibung |
|---|---|---|
Fall CZufluss (zugeflossene Wassermenge):- Der Zufluss steigt an. - Die Zuflussgeschwindigkeit nimmt dabei zu. - Es handelt sich um beschleunigtes Wachstum. Zuflussrate: - Die Zuflussrate ist positiv. Es fließt Wasser in den Behälter hinein. - Die Zuflussrate steigt an. Es fließt immer mehr Wasser in den Behälter hinein. |
$I_{a}$: - ist streng monoton steigend. - ist linksgekrümmt. $f$: - ist positiv. - ist streng monoton steigend. |
|
Fall DZufluss (zugeflossene Wassermenge):- Der Zufluss steigt an. - Die Zuflussgeschwindigkeit nimmt dabei ab. - Es handelt sich um gebremstes Wachstum. Zuflussrate: - Die Zuflussrate ist positiv. Es fließt Wasser in den Behälter hinein. - Die Zuflussrate nimmt ab. Es fließt immer weniger Wasser in den Behälter hinein. |
$I_{a}$: - ist streng monoton steigend. - ist rechtsgekrümmt. $f$: - ist positiv. - ist streng monoton fallend. |
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Fall EZufluss (zugeflossene Wassermenge):- Der (negative) Zufluss nimmt weiter ab bzw. der Abfluss wird immer größer. - Die (negative) Zuflussgeschwindigkeit nimmt dabei zu bzw. die Abflussgeschwindigkeit wird immer kleiner. - Es handelt sich um gebremster Zerfall. Zuflussrate: - Die Zuflussrate ist negativ. Es fließt Wasser aus dem Behälter hinaus. - Die Zuflussrate steigt an. Es fließt immer weniger Wasser aus dem Behälter hinaus. |
$I_{a}$: - ist streng monoton fallend. - ist linksgekrümmt. $f$: - ist negativ. - ist streng monoton steigend. |
|
Fall FZufluss (zugeflossene Wassermenge):- Der (negative) Zufluss nimmt weiter ab bzw. der Abfluss wird immer größer. - Die (negative) Zuflussgeschwindigkeit nimmt dabei ab bzw. die Abflussgeschwindigkeit wird immer größer. - Es handelt sich um beschleunigter Zerfall. Zuflussrate: - Die Zuflussrate ist negativ. Es fließt Wasser aus dem Behälter hinaus. - Die Zuflussrate nimmt ab. Es fließt immer mehr Wasser aus dem Behälter hinaus. |
$I_{a}$: - ist streng monoton fallend. - ist rechtsgekrümmt. $f$: - ist negativ. - ist streng monoton fallend. |
