Übungen – Integralfunktionen

Aufgabe 1

Hier geht es darum, Bestandsrekonstruktionen für einfache Zuflussratenfunktionen rechnerisch durchzuführen. Ergänze in der Übersicht die fehlenden Teile.

Beispiel 1	Beispiel 2
Zufluss-Abfluss-System:	Zufluss-Abfluss-System:
Randfunktion $f$ (Entwicklung der Zuflussrate): $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\dots$ $f(x)$ $60$ $\dots$ Funktionsgleichung: $f(x) = $	Randfunktion $f$ (Entwicklung der Zuflussrate): $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\dots$ $f(x)$ $40$ $\dots$ Funktionsgleichung: $f(x) = $
Integralfunktion $I_0$ (Entwicklung des Gesamtzufusses): $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\dots$ $I_0(x)$ $\dots$ Funktionsgleichung: $I_0(x) = $	Integralfunktion $I_0$ (Entwicklung des Gesamtzufusses): $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\dots$ $I_0(x)$ $\dots$ Funktionsgleichung: $I_0(x) = $
Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist so viel Wasser in den Behälter gelaufen:	Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist so viel Wasser in den Behälter gelaufen:

Aufgabe 2

Ordne die Integralfunktion in der Übersicht den veranschaulichenden Applets zu.

Integralfunktion (Integralschreibweise)	Integralfunktion (Berechnungsterm)
$I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} -2 \; dt$ $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} 2 \; dt$ $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} 2 \; dt$ $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} -2 \; dt$ $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} -2 \; dt$ $I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} 2 \; dt$	$-2x - 4$ $2x + 4$ $2x - 4$ $2x$ $-2x + 4$ $-2x$

Veranschaulichung	Integralfunktion (Integralschreibweise)	Integralfunktion (Berechnungsterm)

Aufgabe 3

Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = x$.

(a) Betrachte die Stelle $a = 0$. Bestimme $I_0(x)$ für $x \in \{0, 2, 4\}$ mittels geometrischer Berechnungen.

(b) Bestimme eine Funktionsgleichung für $I_0$. Überprüfe mit dem Applet, ob die (von dir eingegebene) Funktionsgleichung die Werte liefert, die du in (a) berechnet hast.

(c) Betrachte die Stelle $a = 2$. Bestimme $I_2(x)$ für $x = 2$ und $x = 4$ mittels geometrischer Berechnungen.

(d) Betrachte weiterhin die Stelle $a = 2$. Begründe: $I_2(x) = I_0(x) - I_0(2)$. Nutze diese Beziehung, um eine Funktionsgleichung für $I_2(x)$ zu bestimmen. Kontrolliere sie mit dem Applet.

(e) Betrachte auch noch die Stelle $a = -2$. Entwickle eine Funktionsgleichung für diese Funktion. Kontrolliere sie mit dem Applet.

Zum Herunterladen: integralfunktionen3b.ggb

Aufgabe 4

Hier die Aussage eines Politikers: Unsere Population besteht aktuell aus $20$ Millionen Personen. Aktuell haben wir eine Wachstumsrate von $1$ Million pro Jahr. Das kann so nicht weitergehen. Wir müssen die Wachstumsrate in den nächsten $20$ Jahren kontinuierlich auf den Wert $0$ [Millionen pro Jahr] senken. Für die Haushaltsplanungen wäre es gut, wenn wir genau wüssten, wie sich die Bevölkerungszahl in den nächsten $20$ Jahren dann entwickeln würde.

Entwickle aus den Angaben eine Funktion, mit der man das Populationswachstum beschreiben kann. Gehe dabei so vor.

• Beschreibe zuerst die gewünschte Wachstumslate mit einer linearen Funktion $f$.
• Entwickle dann einen Funktionsterm für die benötigte Integralfunktion $I_a$.
• Beschreibe die Entwicklung der Population mit einer Funktion $P$. Berücksichtige dabei, dass die Population zu Beginn aus $20$ Millionen Personen besteht.

Überprüfe im Applet, ob die entwickelte Funktion $P$ die Populationsentwicklung in den nächsten $20$ Jahren sinnvoll beschreibt.

Zum Herunterladen: populationswachstum.ggb