Integralfunktion als Stammfunktion
Neue Zusammenhänge herstellen
Ziel
Im Laufe dieses Kapitels haben wir schon zwei wichtige Erkenntnisse gewonnen:
- Der HDI besagt: Wenn eine Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ abgeleitet wird, dann erhalten wir die Randfunktion $f$.
- Außerdem haben wir definiert: Wenn eine Funktion $f$ „aufgeleitet“ wird, erhalten wir eine Stammfunktion $F$ zur Ausgangsfunktion $f$. Damit konnten wir feststellen: Alle weiteren Stammfunktionen unterscheiden sich von $F$ nur durch eine additive Konstante $c$.
Ziel soll es nun sein, daraus einen neuen wichtigen Zusammenhang herzustellen, mit dem wir dann Integrale bzw. Integralfunktionen bestimmen können.
Aufgabe 1 (Einstieg)
Begründe mithilfe der bisherigen Erkenntnisse die folgenden neuen Zusammenhänge:
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$, so ist $I_a(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$ und $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion von $f(x)$, so gilt $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$.
Zusammenhänge ausnutzen
Wir nutzen die neuen Zusammenhänge, um Integralfunktionen zu bestimmen. Dabei wird das folgende Problem bearbeitet:
Problem
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ und eine untere Grenze $a$ mit einem $a$ aus dem Definitionsbereich von $f$.
Gesucht ist die Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$.
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
(a) Rechne nach, dass im Applet unten $F$ wirklich eine Stammfunktion von $f$ darstellt.
(b) Begründe, dass das voreingestellte $F$ nicht die gesuchte Integralfunktion darstellt.
(c) Es gibt eine bestimmte Stelle $x$, für die $I_a(x)$ immer bekannt ist. Nutze diese Stelle, um die Zahl $c$ mit dem Schieberegler korrekt einzustellen. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du das Kontrollkästchen aktivierst.
Wie funktioniert das Applet?
Klicke erst einmal nicht auf das Kontrollkästchen „Integralfunktion $I_a(x)$“!
Lasse im Applet erst einmal $f(x)$ und $a$ unverändert und verschiebe nur die Stelle $x$ im unteren Fenster sowie den Schieberegler $c$ im oberen Fenster.
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion1.ggb
Aufgabe 3 (Erarbeitung)
Begründe den folgenden Zusammenhang:
Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
Aufgabe 4 (Sicherung)
🖊️ Notiere dir die Begründungen im Wissensspeicher (Box „Argumentationskette“).
Unbestimmte Integrale
Der Zusammenhang von oben führt dazu, dass man die Menge aller Stammfunktionen von $f$ auch als unbestimmtes Integral bezeichnet. Man nutzt dafür auch die Integralschreibweise $\int$, aber ohne Integrationsgrenzen:
$$\underbrace{\int f(x) dx}_{\text{Unbestimmtes Integral}} = \underbrace{F(x)}_{\text{Stammfunktion}} + \underbrace{c}_{\text{Integrationskonstante}}$$
Für ein Integral mit Integrationsgrenzen, also $\int_a^b f(x) dx$ nutzt man auch den Begriff bestimmtes Integral.
Aufgabe 5 (Vertiefung)
(a) Erkläre die Begriffe „bestimmtes“ und „unbestimmtes“ Integral.
(b) 🖊️ Halte die Definition eines unbestimmten Integrals im Wissensspeicher fest.
(c) Ändert sich das Ergebnis eines bestimmten Integrals mit der Formel $\int_a^b f(x) dx = F(x) - F(a)$, wenn man die Stammfunktion $F$ durch eine andere Stammfunktion austauscht? Begründe.
