Stammfunktionen von ganzrationalen Funktionen
Stammfunktionen bestimmen
Wir betrachten folgende Situation:
Problem
Gegeben ist eine ganzrationale Ausgangsfunktion $f$.
Gesucht ist eine Stammfunktion $F$ von $f$ (d.h. es muss $F' = f$ gelten).
Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★
(a) Begründe, warum die im Applet voreingestellte Funktion $F$ noch keine Stammfunktion von $f$ ist.
(b) Ändere die Funktionsgleichung von $F$ so ab, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Kontrolliere anhand der Graphen im unteren Fenster.
Wie funktioniert das Applet?
Im unteren Fenster des Applets kann die Ausgangsfunktion $f$ eingegeben werden. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Zusätzlich wird im unteren Fenster zum Graphdn der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.
Zum Herunterladen: stammfunktionen2.ggb
Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★ ★
Trage das Ergebnis aus Aufgabe 1 (b) in der Tabelle ein. Bestimme für die weiteren Potenzfunktionen analog eine Stammfunktion.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = 2x^2-3x$ | $\dots $ |
| $f(x) = -4x^3 + 2$ | $\dots $ |
| $f(x) = 2x^4 + 2x^2 - 2$ | $\dots $ |
| $f(x) = -1$ | $\dots $ |
| $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x$ | $\dots $ |
Aufgabe 3 (Sicherung)
(a) 🖊️ Formuliere eine Anleitung, wie die Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion bestimmt wird.
(b) Vergleiche dein Vorgehen mit dem Ableiten einer ganzrationalen Funktion. Welche Ableitungsregeln kamen dabei zum Einsatz? Wie lauten die zugehörigen Regeln für Stammfunktionen?
(c) 🖊️ Fülle die unteren beiden Boxen des Wissensspeichers.
