Zusammenfassung – Integralberechnung mit Stammfunktionen
Bestimmung von Integralfunktionen
Die wesentlichen Erkenntnisse dieses Unterkapitels lassen sich in den folgenden beiden Sätzen zusammenfassen:
Satz 1
Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) + c$ mit einer reellen Zahl $c$.
Begründung: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz: HDI) ist jede Integralfunktion $I_a$ zu einer Randfunktion $f$ auch eine Stammfunktion der Randfunktion, da die Integralfunktion abgeleitet die Randfunktion ergibt. Nach dem Satz über Stammfunktionen unterscheiden sich alle Stammfunktionen zu einer Ausgangsfunktion $f$ nur durch eine additive Konstante $c$.
Satz 2
Ist $I_a$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f$ und $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
Begründung: Die additive Konstante $c$ lässt sich leicht bestimmen. Da $I_a(a) = 0$ gilt, lässt sich hieraus $0 = F(a) + c$ und daraus $c = -F(a)$ folgern.
Das Applet verdeutlicht diesen fundamentalen Zusammenanhang am Beispiel:
Beispiel
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$.
Gesucht ist die Integralfunktion $I_1$ zur Randfunktion $f$.
Eine Stammfunktion $F$ zur Funktion $f$ lässt sich direkt angeben: $F(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2$.
Mit $F(1) = -\frac{1}{5}\cdot 1^3+1^2 = \frac{4}{5} = 0.8$ erhalten wir: $I_1(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2 - \frac{4}{5}$.
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Unbestimmte Integrale
Der Zusammenhang von oben führt dazu, dass man die Menge aller Stammfunktionen von $f$ auch als unbestimmtes Integral bezeichnet. Man nutzt dafür auch die Integralschreibweise $\int$, aber ohne Integrationsgrenzen:
$$\underbrace{\int f(x) dx}_{\text{Unbestimmtes Integral}} = \underbrace{F(x)}_{\text{Stammfunktion}} + \underbrace{c}_{\text{Integrationskonstante}}$$
Für ein Integral mit Integrationsgrenzen, also $\int_a^b f(x) dx$ nutzt man auch den Begriff bestimmtes Integral.
Bestimmung von Integralen
Aus dem Satz über Integralfunktionen lässt sich direkt ein Verfahren zur Integralberechnung folgern:
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b) = \int_a^b f(x) dx$ mit der Stammfunktion $F$ folgendermaßen berechnen: $I_a(b) = F(x) - F(b)$.
Das Applet verdeutlicht dies wieder am Beispiel:
Beispiel
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$.
Gesucht ist das Integral $I_1(4)$ zur Randfunktion $f$.
Mit der Stammfunktion $F$ mit $F(x) = -\frac{1}{5}\cdot x^3+x^2$ zur Funktion $f$ erhalten wir:
$I_1(4) = F(4) - F(1) = \left( -\frac{1}{5}\cdot 4^3+4^2 \right) - \left( -\frac{1}{5}\cdot 1^3+1^2 \right) = \frac{16}{5} - \frac{4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.
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Integrationsregeln
Für die Integration gibt es verschiedene Regeln.
Integrationsgrenzen vertauschen
$\int\limits_a^b f(x) dx = - \int\limits_b^a f(x) dx$
Begründung
Geometrisch: Das Vertauschen der Integrationsgrenzen führt zu einem Wechsel des Vorzeichens. Das liegt daran, dass für die Bewertung der orientierten Flächeninhalte relevant ist, ob die obere Integrationsgrenze größer oder kleiner als die untere ist, vgl. Unterkapitel Integralfunktion.
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann gilt $- \int\limits_b^a f(x) dx = - \left( F(a) - F(b) \right) = F(b) - F(a) = \int\limits_a^bf(x) dx$.
Gleiche Integrationsgrenzen
$\int\limits_a^a f(x) dx = 0$
Begründung
Geometrisch: Ein orientierter Flächeninhalt mit einer Breite vom 0 beträgt 0.
Anschaulich: Das Integral $\int_a^b f(x) dx$ kann man als die Rekonstruktion eines Bestandes im Zeitraum $[a; b]$ auffassen. Wenn nun aber $a = b$ gilt, dann gibt es keinerlei Bestandsänderung im Intervall.
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann gilt $\int\limits_a^a f(x) dx = F(a) - F(a) = 0$.
Intervalladditivität
$\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_b^c f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx$
Begründung
Geometrisch und anschaulich: Hier wird die Flächenbilanz einfach in zwei Teile aufgeteilt, einmal von $a$ bis $b$ und dann nochmal von $b$ bis $c$. Auf der rechten Seite der Gleichung wird direkt der gesamte Bereich betrachtet. Analog zur aufgeteilten Flächenbilanz wird hier die Bestandsänderung in zwei Bereiche aufgeteilt (linke Seite der Gleichung) oder direkt in einem Schritt betrachtet (rechte Seite).
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann gilt $\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_b^c f(x) dx = \underbrace{F(b) - F(a)}_{\int_a^b f(x) dx} + \underbrace{F(c) - F(b)}_{\int_b^c f(x) dx} = F(c) - F(a) = \int\limits_a^c f(x) dx$.
Summenregel
$\int\limits_a^b f(x) + g(x) dx = \int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_a^b g(x) dx$
Begründung
Anschaulich: Wir können uns ein Gefäß mit zwei Zuflüssen und Abflüssen vorstellen. Dabei beschreiben $f$ und $g$ die beiden Zufluss-Abfluss-Raten. Die linke Seite der Gleichung sagt nun aus, dass erst die beiden Zufluss-Abfluss-Raten addiert werden. Dann wird der Bestand rekonstruiert. Im Gegensatz dazu werden auf der rechten Seite für beide Zufluss-Abfluss-Raten getrennt voneinander die Bestandsänderungen berechnet und dann addiert. Das Ergebnis bleibt aber gleich.
Rechnerisch: Angenommen, die Funktionen besitzen Stammfunktionen $F$ und $G$: Dann ist $F+G$ eine Stammfunktion von $f+g$, wie aus der Summenregel der Differentialrechnung folgt. Somit gilt: $\int\limits_a^b f(x) + g(x) dx = \underbrace{(F+G)(b)}_{F(b) + G(b)} - \underbrace{(F+G)(a)}_{F(a) + G(a)} = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = \int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_a^b g(x) dx$.
Faktorregel
$\int\limits_a^b c \cdot f(x) dx = c\cdot \int\limits_a^b f(x) dx$ für $c\in \mathbb{R}$
Begründung
Geometrisch: Auf der linken Seite der Gleichung wird die Randfunktion mit dem Faktor $c$ in $y$-Richtung gestreckt und im Anschluss die Flächenbilanz berechnet. Sie wird durch die Streckung $c$-fach so groß wie ohne Streckung. Genau das sagt die rechte Seite der Gleichung aus.
Rechnerisch: Angenommen, die Funktion $f$ besitzt eine Stammfunktion $F$: Dann ist $c\cdot F$ eine Stammfunktion von $c\cdot f$, wie aus der Faktorregel der Differentialrechnung folgt. Somit gilt:
$\int\limits_a^b c\cdot f(x) dx = \underbrace{(c\cdot F)(b)}_{c \cdot F(b)} - \underbrace{(c \cdot F)(a)}_{c \cdot F(a)} = c \cdot \left( F(b) - F(a) \right) = c \cdot \int\limits_a^b f(x) dx$.
Integralschreibweisen
Die bisher erzielten Ergebnisse werden abschließend noch einmal mit anderen Schreibweisen dargestellt. Die hier benutzten Schreibweisen zur Integralberechnung haben sich im Laufe der Zeit etabliert und solltest du daher auch kennen und verwenden können.
Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f$, so lässt sich das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F$, wie folgt berechnen: $\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$.
Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise:
Beispiel
$\int\limits_1^4 \underbrace{\left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right)}_{f(x)} dx = \left[ \underbrace{-\frac{1}{5}x^3+x^2}_{F(x)} \right]_1^4 = \left( \underbrace{-\frac{1}{5}4^3+4^2}_{F(b)} \right) - \left( \underbrace{-\frac{1}{5}1^3+1^2}_{F(a)} \right) = 3.2 - 0.8 = 2.4$.
Diese Schreibweisen werden hier im Applet verdeutlicht:
Zum Herunterladen: integralschreibweise1.ggb
