Dynamische Sichtweise (Einstieg)
Von einem bestimmten Integral zu einer Integralfunktion
Zielsetzung
Im Unterkapitel Rekonstruktion eines Bestandes hast du gesehen, dass die Bestandsfunktion $B$ aus einer vorgegebenen Änderungsratenfunktion $B'$ erhalten wird, indem orientierte Flächeninhalte bestimmt werden. Diesen Rekonstruktionsvorgang nannten wir Integrieren.
Im Unterkapitel Grenzwert von Produktsummen haben wir gelernt, dass wir den orientierten Flächeninhalt unter einem Graphen $f$ in einem Intervall $[a;b]$ als Integral $I_a(b) = \int_a^b f(x) dx$ bezeichnen.
Wir werden nun beide Gedanken miteinander verknüpfen: Wir betrachten eine vorgegebene Randfunktion $f$ (Diese kannst du dir als Änderungsrate vorstellen.) sowie eine vorgegebene Intervallgrenze $a$ und wollen eine zugehörige Integralfunktion rekonstruieren.
Aufgabe 1
Variiere $x$ im Applet unter der Aufgabe, indem du den entsprechenden Punkt auf der $x$-Achse (unteres Teil-Fenster) hin und her bewegst.
(a) Erkläre, wie der Graph, der im oberen Fenster entsteht, mit den Integralen $I_a(b) = \int_a^b f(x)dx$ zusammenhängt, die wir im vorherigen Unterkapitel betrachtet haben. Erkläre auch den Zusammenhang zur unten eingefärbten Fläche.
(b) Erfinde einen Sachkontext, indem du die beiden Graphen deuten kannst.
Zum Herunterladen: integralfunktion2.ggb
Integralfunktion
Bei Bestimmung aller Integralwerte (bzw. den orientierter Flächeninhalte) für jedes $x \geq a$ aus der Definitionsmenge von $f$, entsteht durch diese Werte die Integralfunktion $I_a$.
Aufgabe 2
Setze das Applet mit dem Refresh-Button (rechts oben in der Ecke) zurück. Verändere nun $a$. Gib dazu in das Eingabefeld den Wert $a = 1$ ein und variiere erneut $x$.
(a) Beschreibe, wie sich der entstehende Graph der Integralfunktion $I_a$ beim Variieren von $a$ verändert.
(b) Beschreibe die Bedeutung, die $a$ in einem Sachkontext hat.
Weiteres Vorgehen
Auf den folgenden Seiten werden einfache Randfunktionen betrachtet und die zugehörige Integralfunktion bestimmt.
